В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(aX

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0

Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb.
Справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице:

Рисунок-1

Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:

Рисунок-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

(8)

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0.
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Решение: Искомая вероятность:

Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то:

M(x)=xf(x)dx (10)

Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством:

P{X e (X)}=P{X>M e (X)}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Если возможные значения принадлежат всей оси х, то.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (дифференциальной функцией распределения) называют первую производную от интегральной функции распределения: f(x)=F’(X). Из этого определения и свойств функции распределения следует, что

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называют число

Дисперсия непрерывной случайной величины X определяется равенством

Пример 79. Плотность распределения времени Т сборки РЭА на поточной линии

Найти коэффициент A , функцию распределения времени сбор­ки РЭА и вероятность того, что время сборки будет находиться в пределах интервала (0,1А).

Решение. На основании свойства функции распределения случайной величины

Дважды интегрируя по частям, получаем

Функция распределения равна

Вероятность того, что время сборки РЭА не выйдет за пре­делы (0; 1/λ):

Пример 80 . Плотность вероятности отклонения выходного сопротивления блока РЭА от номинального значения R 0 в пре­делах поля допуска 2δ описывается законом

Найти математическое ожидание и дисперсию отклонения со­противления от номинального значения.

Решение.

Поскольку подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, интеграл равен 0.

Следовательно, M {R } = 0.

Сделав подстановку r = a sin x , получим

Пример 81. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1. F(x); 2. M(X); 3. Д(X).

Решение. 1. Для отыскания F(x) используем формулу

Если
, то

а

Если
, то

Если
,то f(x)=0, а

3.

Дважды интегрируя по частям получим:

, тогда

82. Найти f(x), M(X), Д(X) в задачах 74, 75.

83. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

84. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством
. Найти постоянный параметр С.

85. Случайная величина X в интервале (-3, 3) задана плотностью распределения
; вне этого интервала

а) Найти дисперсию X;

б) что вероятнее: в результате испытания окажется X<1 или X>1?

86. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения

87. Случайная величина задана функцией распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

§8. Равномерное и показательное распределения

Равномерным называют распределение непрерывной случайной величины X, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а вне этого интервала равна нулю, т.е.

Показательным (экспоненциальным) распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

где λ – постоянная положительная величина. Функция распределения показательного закона

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

;
;

Пример 88. Цена деления шкалы амперметра равна 0,10А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале (0;0,1) между двумя целыми делениями. Следовательно,

Тогда
.

Пример 89. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что за время длительностью t=100 часов: a) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Решение. а) По определению
, следовательно она определяет вероятность отказа элемента за время t, поэтому

б) Событие «элемент не откажет» является противоположным рассмотренному, поэтому его вероятность

90. Радиоэлектронный блок собирается на поточной линии, такт сборки 2 мин. Готовый блок снимается с конвейера для контроля и регулировки в произвольный момент времени в пределах такта. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени нахождения готового блока на конвейере. Время нахождения блока на конвейере подчиняется зако­ну равномерного распределения случайных величин.

91. Вероятность выхода из строя РЭА за определенное время выражается формулой . Определить среднее время работы РЭА до выхода из строя.

92. Разрабатываемый спутник связи должен характеризоваться средним временем наработки на отказ 5 лет. Считая реальное время наработки на отказ случайной экспоненциально распределенной величиной, определите вероятность того, что

а) спутник проработает менее 5 лет,

б) спутник проработает не менее 10 лет,

в) спутник откажет в течение 6-го года.

93. Некий квартиросъемщик купил четыре лампочки накаливания со средним сроком службы 1000 ч. Одну из них он установил в настольную лампу, а остальные оставил про запас, на случай, если лампа перегорит. Определите:

а) ожидаемую суммарную продолжительность службы четырех ламп,

б) вероятность того, что четыре лампы в сумме проработают 5000 часов или более,

в) вероятность того, что общий срок службы всех ламп не превысит 2000 часов.

94. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

95. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

96. Найти математическое ожидание случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

97. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

98. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение
, второго
. Найти вероятность того, что за время длительностью t=6 ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 2.1. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6).

Решение: Х в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами:

Пример 2.2. При каких значениях параметров А и В функция F (x ) = A + Be - x может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х .

Решение: Так как все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х , должно выполняться свойство:

.

Ответ: .

Пример 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).

Решение: Вероятность попадания величины Х в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле:

Пример 2.4. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках.

Решение: Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х

Х :

Пример 2.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

Решение: Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи.

Составим закон распределения вероятностей СВ Х :

Пример 2.6. Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F 1 (t ) =1-e - 0,1 t , для второго: F 2 (t ) = 1-e - 0,2 t , для третьего: F 3 (t ) =1-e - 0,3 t . Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента.

Решение: Воспользуемся определением производящей функции вероятностей :

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна , во втором и т. д., событие А появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов:

Составим производящую функцию:

Коэффициент при равен вероятности того, что событие А появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент.

Пример 2.7. Дана плотность вероятности f (x )случайной величины X :

Найти функцию распределения F(x).

Решение: Используем формулу:

.

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Пример 2.8. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение: Случайная величина Х – число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли:

Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х :

Пример 2.9. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение: Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х

где -- число деталей в партии;

-- число стандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число стандартных деталей среди отобранных.

.

.

.

Пример 2.10. Случайная величина имеет плотность распределения

причем и не известны, но , а и . Найдите и .

Решение: В данном случае случайная величина X имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b ]. Числовые характеристики X :

Следовательно, . Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: .

Ответ: .

Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение: Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

.

Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4.

Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы:

.

Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Ответ: , .

Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых.

Решение: В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число роз;

-- число белых роз;

– число одновременно взятых роз;

-- число белых роз среди взятых.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число собранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке;

– число выбранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных.

.

.

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Теперь вычислим числовые характеристики величины :

Ответ: , .

Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.

Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны .

Составим ряд распределения случайной величины:

	0,2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера:

Ответ: , .

Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p . Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов.

Решение: Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X ) = 8.

Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины:

Находим: .

Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле:

,

где - число партий;

Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия.

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

Ответ: .

Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M (X ) = 0,9.

Решение: Задачу можно решить двумя способами.

1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий:

, , .

Тогда закон распределения X имеет вид:

Из определения математического ожидания определим вероятность :

Найдем дисперсию СВ X :

.

2) Можно использовать формулу:

.

Ответ: .

Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа:

Пример 2.21. Дана функция:

При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X .

Решение: Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству:

.

Следовательно:

Вычислим математическое ожидание по формуле:

.

Вычислим дисперсию по формуле:

T равна p . Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании:

.

Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах.

Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент.

Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: . .

Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд.

Решение: В этом примере математическое ожидание , а интенсивность отказов равна .

Тогда искомая вероятность:

Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда?

Решение:

Пример 2.31.

Тогда согласно классическому определению вероятности:

где -- число деталей в партии;

-- число нестандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число нестандартных деталей среди отобранных.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой.

Глава 1. Дискретная случайная величина

§ 1.Понятия случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение : Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение : Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение : Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.

где р1+ р2+…+ рn=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

Органическая хиимя" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.

Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Функция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);

3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:

то функция распределения F(x) определяется формулой:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

1 при х> хn.

Её график изображен на рис.2:

§ 3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Определение : Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

М(Х)= ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С Х)=С М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), где X, Y - независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия .

Определение : Дисперсией D ( X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х - случайная величина;

3)D(C X)=C2 D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y - независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию распределения F(х)=P(X

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т. к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;

Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Биномиальный закон распределения

дискретной случайной величины, закон Пуассона.

Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где

- «выпадения не пятерки».

Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.

Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Рn(m)= e - λ λm

Найдем λ=np=1000 0,002=2.

а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

Р1000(5)= e -2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e -2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Задачи для самостоятельной работы.

1.1

1.2. Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

1.3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х - число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

1.4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

1.5. В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

1.6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х - число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).

1.7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.

1.8. На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).

1.9. В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х - числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.

1.10. Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).

1.11. Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X).

1.12. Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.

1.13 .Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов.

1.15. Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит:

а) четыре бракованные книги,

б) менее двух бракованных книг.

1 .16. Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит:

а) два вызова;

б)хотя бы один вызов.

1.17.

Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y.

1.18. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y.

Ответы:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">1.1. р3=0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

1.2. р4=0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

M(Х)=2; D(Х)=0,62

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14">1.11.

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. а)0,0189; б) 0,00049

1.16. а)0,0702; б)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Глава 2. Непрерывная случайная величина

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

Определение: Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х

4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).

Определение : Плотностью распределения вероятностей f ( x ) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.:

Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей .

Свойства плотности распределения вероятностей:

1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5)

Решение:

+ ∞

а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1.

Следовательно, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х

если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2,

F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

График функции F(х) изображен на рис.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0,

F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

Найти дифференциальную функцию распределения f(х)

Решение: Т. к.f(х)= F’(x), то

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача №3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Задачи для самостоятельного решения.

2.1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х≤0,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6,

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 при х> π/3.

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 при х≤2,

f(х)= с х при 2<х≤4,

0 при х>4.

2.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

0 при х≤0,

f(х)= с √х при 0<х≤1,

0 при х>1.

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х,

0 при х .

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

2.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

f(х)= 2(х-2) при х,

0 при х .

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку .

2.7. Функция f(х) задана в виде:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√3/2 ; √3/2].

2.8. Функция f(x) задана в виде:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

2.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

2.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4),

задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)).

2.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15">.

Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х))

2.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0.

Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

2.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) (рис.5)

2.16. Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Ответы

0 при х≤0,

f(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6,

F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,

0 при х> π/3. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

0 при х≤а,

f(х)= при a<х

0 при х≥b.

График функции f(x) изображен на рис. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=.

Задача№1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найти:

а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;

б) функцию распределения F(x) и построить ее график;

в) M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 при х>7

Построим ее график (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0,

f(х)= λе-λх при х≥0.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:

Р(a<Х

Задача №2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.

Решение: По условию математическое распределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при х<0,

а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0.

б) F(x)= 0 при х<0,

1- е -0,01х при х≥0.

в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:

Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3.

§ 3.Нормальный закон распределения

Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

,

где m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис.7)

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле:

,

где - функция Лапласа.

Замечание: Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2.

График функции распределения F(x) изображен на рис. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:

В частности, при m=0 справедливо равенство:

«Правило трех сигм»

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3σ; a+3σ), т. к.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а)

б) Воспользуемся формулой:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Итак, искомая вероятность:

P(28

Задачи для самостоятельной работы

3.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите:

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(4<х<6).

3.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(3≤х≤6).

3.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и т. д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

3.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда.

3.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-8х при х≥0.

3.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,7 е-0,7х при х≥0.

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х.

3.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,4 е-0,4 х при х≥0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,5;5).

3.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-0,6х при х≥0

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

3.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14).

3.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

3.11. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность?

3.12. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

3.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M(X)=10ден. ед. и σ (Х)=0,3 ден. ед. Найти:

а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.;

б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находится текущая цена акции.

3.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отношением σ=5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по абсолютной величине 3г.

3.15. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

3.16. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х.

3.17. Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения . Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и σ(Х)=0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат?

3.18. Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1% номинала.

Ответы

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 при х≤-3,

F(х)= left">

3.10. а)f(x)= ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

9. Непрерывная случайная величина, её числовые характеристики

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью двух функций. Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция , определённая равенством
.

Интегральная функция даёт общий способ задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. В случае непрерывной случайной величины . Все события: имеют одну и ту же вероятность, равную приращению интегральной функции на этом промежутке, т.е.. Например, для дискретной случайной величины, заданной в примере 26, имеем:

Таким образом, график интегральной функции рассматриваемой функции представляет собой объединение двух лучей и трёх отрезков, параллельных оси Ох.

Пример 27 . Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения вероятностей

.

Построить график интегральной функции и найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале (0,5;1,5).

Решение. На интервале
графиком является прямая у = 0. На промежутке от 0 до 2 – парабола, заданная уравнением
. На интервале
графиком является прямая у = 1.

Вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение в интервале (0,5;1,5) находим по формуле .

Таким образом, .

Свойства интегральной функции распределения вероятностей:

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью другой функции, а именно, функции плотности вероятности
.

Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадает в интервал
, определяется равенством
.

График функции называется кривой распределения . Геометрически вероятность попадания случайной величины Х в промежуток равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми
.

Свойства функции плотности вероятности :

9.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание (средним значением) непрерывной случайной величины Х определяется равенством
.

М(Х) обозначают через а . Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает аналогичными, как и дискретная величина, свойствами:

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания, т.е. . Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется формулой
.

Дисперсия обладает свойствами:

Последнее свойство очень удобно применять для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины.

Аналогично вводится и понятие среднего квадратического отклонения. Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии, т.е.
.

Пример 28 . Непрерывнаяслучайная величина Х задана функцией плотности вероятностей
в интервале (10;12), вне этого промежутка значение функции равно 0. Найти 1) значение параметра а, 2) математическое ожидание М(Х), дисперсию
, среднее квадратическое отклонение, 3) интегральную функцию
и построить графики интегральной и дифференциальной функций.

1). Для нахождения параметра а используем формулу
. Получим . Таким образом,
.

2). Для нахождения математического ожидания используем формулу: , откуда следует, что
.

Дисперсию будем находить по формуле:
, т.е. .

Найдём среднее квадратическое отклонение по формуле: , откуда получим, что
.

3). Интегральная функция выражается через функцию плотностей вероятностей следующим образом:
. Следовательно,
при
, = 0 при
и = 1 при
.

Графики этих функций представлены на рис. 4. и рис. 5.

Рис.4 Рис.5.

9.2. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х равномерно на интервале , если её плотность вероятности постоянна на этом интервале и равна нулю вне этого интервала, т.е. . Легко показать, что в этом случае
.

Если интервал
содержится в интервале , то
.

Пример 29. Событие, состоящее из мгновенного сигнала, должно произойти между часом дня и пятью часами. Время ожидания сигнала есть случайная величина Х. Найти вероятность того, что сигнал будет зафиксирован между двумя и тремя часами дня.

Решение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение, и по формуле найдём, что вероятность того, что сигнал будет между 2 и 3 часами дня, равна
.

В учебной и другой литературе часто обозначают в литературе через
.

9.3. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если её закон распределения вероятностей определяется плотностью вероятности
. Для таких величин а – математическое ожидание,
- среднее квадратическое отклонение.

Теорема. Вероятность попадания нормально распределённой непрерывной случайной величины в заданный интервал
определяется по формуле
, где
- функция Лапласа.

Следствием этой теоремы является правило трёх сигм , т.е. практически достоверно, что нормальна распределённая, непрерывная случайная величина Х принимает свои значения в интервале
. Это правило выводимо из формулы
, являющейся частным случаем сформулированной теоремы.

Пример 30. Срок работы телевизора представляет собой случайную величину Х, подчинённую нормальному закону распределения, с гарантийным сроком 15 лет и средним квадратическим отклонением, равным 3 годам. Найти вероятность того, что телевизор проработает от 10 до 20 лет.

Решение. По условию задачи математическое ожидание а = 15, среднее квадратическое отклонение .

Найдём . Таким образом, вероятность работы телевизора от 10 до 20 лет более 0,9.

9.4.Неравенство Чебышева

Имеет место лемма Чебышева . Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного в
.

Учитывая, что , как сумма вероятностей противоположных событий, получим, что
.

Теорема Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечную дисперсию
и математическое ожидание М(Х), то для любого положительного справедливо неравенство
.

Откуда следует, что
.

Пример 31. Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины деталей равна100 см., а среднее квадратическое отклонение равно 0,4см. Оценить снизу вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется не менее 99см. и не более 101см.

Решение. Дисперсия . Математическое ожидание равно 100. Следовательно, для оценки снизу вероятности рассматриваемого события
применим неравенство Чебышева , в котором
, тогда
.

10. Элементы математической статистики

Статистической совокупностью называют множество однородных предметов или явлений. Число п элементов этого множества называется объёмом совокупности. Наблюдаемые значения признака Х называют вариантами . Если варианты расположены в возрастающей последовательности, то получен дискретный вариационный ряд . В случае группировки вариант по интервалам получается интервальный вариационный ряд . Под частотой т значения признака понимают число членов совокупности с данной вариантой.

Отношение частоты к объёму статистической совокупности называют относительной частотой признака:
.

Соотношение между вариантами вариационного ряда и их частотами называют статистическим распределением выборки . Графическим представлением статистического распределения может служить полигон частот.

Пример 32. Путём опроса 25 студентов первого курса получены следующие данные об их возрасте:
. Составить статистическое распределение студентов по возрасту, найти размах варьирования, построить полигон частот и составить ряд распределения относительных частот.

Решение. Используя данные, полученные при опросе, составим статистическое распределение выборки

Размах выборки варьирования равен 23 – 17 = 6. Для построения полигона частот, строят точки с координатами
и последовательно их соединяют.

Ряд распределения относительных частот имеет вид:

10.1.Числовые характеристики вариационного ряда

Пусть выборка задана рядом распределения частот признака Х:

Сумма всех частот равна п.

Средним арифметическим выборки называют величину
.

Дисперсией или мерой рассеяния значений признака Х по отношению к его среднему арифметическому называют величину
. Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии, т.е. .

Отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации :
.

Эмпирической функцией распределения относительных частот называют функцию, определяющую для каждого значения относительную частоту события
, т.е.
, где - число вариант, меньших х , а п – объём выборки.

Пример 33. В условиях примера 32 найти числовые характеристики
.

Решение. Найдём среднее арифметическое выборки по формуле , тогда .

Дисперсия признака Х находится по формуле: , т. е. . Среднее квадратическое отклонение выборки равно
. Коэффициент вариации равен
.

10.2. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал

Пусть проводится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р . В этом случае вероятность того, что относительная частота будет отличаться от вероятности появления события А в каждом испытании по абсолютной величине не больше, чем на , приближённо равна удвоенному значению интегральной функции Лапласа:
.

Интервальной оценкой называют такую оценку, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр статистической совокупности.

Доверительным интервалом называют интервал, который с заданной доверительной вероятностью покрывает оцениваемый параметр статистической совокупности. Рассматривая формулу , в которой заменим неизвестную величину р на её приближённое значение , полученное по данным выборки, получим:
. Эта формула служит для оценки вероятности по относительной частоте. Числа
и
называют нижней и соответственно верхней доверительными границами , - предельной погрешностью для данной доверительной вероятности
.

Пример 34 . Заводской цех выпускает электрические лампочки. При проверке 625 ламп оказалось 40 бракованных. Найти с доверительной вероятностью 0,95 границы, в которых заключён процент брака лампочек, выпускаемых заводским цехом.

Решение. По условию задачи . Используем формулу
. По таблице 2 приложения находим значение аргумента, пи котором значение интегральной функции Лапласа равно 0,475. Получим, что
. Таким образом, . Следовательно, можно сказать с вероятностью 0,95, что доля выпускаемого брака цехом высока, а именно, изменяется в пределах от 6,2% до 6,6%.

10.3. Оценка параметров в статистике

Пусть количественный признак Х всей исследуемой совокупности (генеральной совокупности) имеет нормальное распределение.

Если среднее квадратическое отклонение известно, то доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а

, где п – объём выборки, - выборочная средняя арифметическая, t – аргумент интегральной функции Лапласа, при котором
. При этом число
называют точностью оценки.

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то по данным выборки можно построить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с п – 1 степенями свободы, которое определяется только одним параметром п и не зависит от неизвестных а и . Распределение Стьюдента даже для малых выборок
даёт вполне удовлетворительные оценки. Тогда доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а этого признака с заданной доверительной вероятностью , находится из условия

, где S – исправленное среднее квадратическое, - коэффициент Стьюдента, находится по данным
из таблицы 3 приложения.

Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение этого признака с доверительной вероятностью , находится по формулам: и , где
находится по таблице значений q по данным .

10.4. Статистические методы изучения зависимостей между случайными величинами

Корреляционной зависимостью У от Х называют функциональную зависимость условной средней от х. Уравнение
представляет уравнение регрессии У на Х, а
- уравнение регрессии Х на У.

Корреляционная зависимость может быть линейной и криволинейной. В случае линейной корреляционной зависимости уравнение прямой линии регрессии имеет вид:
, где угловой коэффициент а прямой линии регрессии У на Х называется выборочным коэффициентом регрессии У на Х и обозначается
.

При малых выборках данные не группируются, параметры
находятся по методу наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

, где п – число наблюдений значений пар взаимосвязанных величин.

Выборочный линейный коэффициент корреляции показывает тесноту связи У и Х. Коэффициент корреляции находится по формуле
, причём
, а именно:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х имеет вид:

.

При большом числе наблюдений признаков Х и У составляется корреляционная таблица с двумя входами, при этом одно и то же значение х наблюдается раз, одно и то же значение у наблюдается раз, одна и та же пара
наблюдается раз.

Пример 35. Дана таблица наблюдений признаков Х и У.

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х.

Решение. Связь между изучаемыми признаками может быть выражена уравнением прямой линии регрессии У на Х: . Для вычисления коэффициентов уравнения составим расчётную таблицу:

№ наблюдения