Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре - прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол - это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол - это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие - он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла - от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных - острого, тупого, прямого и развернутого - в геометрии существует много других их видов.

Французским математиком Пьером Эригоном .

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи , символ π , как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω .

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ∠ A B C . {\displaystyle \angle ABC.} В такой записи B {\displaystyle B} - вершина, а A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} - точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться. См. .

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ∠ (b c) {\displaystyle \angle (bc)} - здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ∠ B A C {\displaystyle \angle BAC} , α , который надо было бы обозначить ∠ (c b) {\displaystyle \angle (cb)} .

Так, для рисунка справа записи γ , ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} и ∠ (b a) {\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Угловая мера [ | ]

Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными ), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:

равным углам соответствует равная угловая мера;
меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для угла между параллельными прямыми);
каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля;
(аддитивность) угловая мера угла равна сумме угловых мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение ∠ A B C , {\displaystyle \angle ABC,} а для величины меры измерения этого угла - обозначение A B C ^ . {\displaystyle {\widehat {ABC}}.}

Угол измеряют:

Наиболее распространённая градусная мера - градус, минута, секунда , в которой за 1° принимается 1/180 от развёрнутого угла (см. ), одна минута 1 ′ = 1 ∘ / 60 {\displaystyle 1"=1^{\circ }/60} , и одна секунда 1 ″ = 1 ′ / 60 {\displaystyle 1""=1"/60} . Градусная мера применяется в элементарной геометрии (измерение углов на чертежах транспортиром), в геодезии по карте и на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор - универсал /теодолит).

Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону , где использовалась шестидесятеричная система счисления , следы которой сохранились у нас в делении времени и углов.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы измеряются в румбах . 1 румб равен 1 ⁄ 32 от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.

В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000) . В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.

Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:

Направление отсчёта углов [ | ]

Стрелкой показано направление отсчёта углов

Телесный угол [ | ]

Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол - часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах - в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре - прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ , то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ .

Угол между кривыми [ | ]

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Угол и скалярное произведение [ | ]

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x , y) {\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя | | x | | = (x , x) . {\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши - Буняковского (Коши - Шварца) для скалярного произведения: | (x , y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , {\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда , когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически - их совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x , y) | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными , если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале [ a , b ] {\displaystyle } функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , {\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,} тогда нормы функций определяются как | | f | | 2 = ∫ a b f 2 (x) d x . {\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.} Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными , если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора g i j . {\displaystyle g_{ij}.} Скалярное произведение касательных векторов u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} в тензорной записи будет иметь вид: (u , v) = g i j u i v j , {\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},} соответственно нормы векторов - | | u | | = | g i j u i u j | {\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}} и | | v | | = | g i j v i v j | . {\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.} Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: cos ⁡ θ = (u , v) | | u | | ⋅ | | v | | = g i j u i v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}

Угол в метрическом пространстве [ | ]

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть (X , ρ) {\displaystyle (X,\rho)} - метрическое пространство . Пусть далее, x , y , z {\displaystyle x,y,z} - элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} с вершиной в точке x {\displaystyle x} как неотрицательное число y x z ^ {\displaystyle {\widehat {yxz}}} , которое удовлетворяет трём аксиомам:

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

Y x z ^ w = arccos ⁡ ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) − ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) {\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y − x {\displaystyle y-x} и z − x {\displaystyle z-x} в смысле евклидова пространства.

Измерение углов [ | ]

Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир (а также линейка - см. ниже); как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:

Угловым расстоянием (или просто углом) между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удалёнными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус (1°) соответствует ширина мизинца (см. также ниже; угловая ширина среднего пальца на расстоянии вытянутой руки составляет около 2°), углу в 10 градусов - ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально (либо поперечник ладони), углу в 20 градусов (или около 15°÷17°÷20°) - расстояние между кончиками разведённых большого и указательного пальца (пядь), а угловое расстояние от конца мизинца до конца большого пальца равно примерно четверти прямого угла . Это усреднённые данные. Рекомендуется уточнить их для своей собственной руки.

Различные методы и устройства для измерения углов характеризуются угловым разрешением , то есть минимальным углом, который может быть измерен с помощью данного метода. Наилучшим угловым разрешением обладают различные интерферометрические методы, позволяющие измерить в некоторых случаях углы в несколько микросекунд дуги (~10 −11 радиана).

Примеры практических тригонометрических измерений [ | ]

Решение задач простым способом

Как измерить угол (например, на карте) с помощью сторон треугольника (например, при отсутствии инженерного/тригонометрического калькулятора (и таблиц) и отсутствии ПК (MS Office Excel) для вычисления cos) и подручными средствами - линейки с миллиметровыми делениями?
По сторонам угла отложите отрезки по 60 мм и концы соедините прямой линией. Длина этой линии в миллиметрах покажет примерно величину угла в градусах. Таким способом можно с достаточной (приемлемой) точностью измерять острые углы до 60°. Если угол больше 60°, измеряют его дополнение до 90°, 180, 270° или 360°. Для измерения дополнения до 90° или 270° из вершины угла строится с помощью треугольника перпендикуляр к одной из сторон (в равнобедренном треугольнике -

«2. Что называется сторонами угла, обозначенного как EFG? 3. Что называется вершиной угла, обозначенного как EFG? 4. Какая геометрическая фигура называется плоским углом? 5. Сколько плоских...»

Занятие 1. УГОЛ.

ПЛОСКИЙ УГОЛ

Контрольные вопросы и задания

1. Какая геометрическая фигура называется углом?

2. Что называется сторонами угла, обозначенного как EFG?

3. Что называется вершиной угла, обозначенного как EFG?

4. Какая геометрическая фигура называется плоским углом?

5. Сколько плоских углов определяют два различных луча с общей вершиной?

6. Какая фигура называется развёрнутым углом?

7. Какой вид имеет плоский развёрнутый угол?

8. Как определяется угол между двумя отрезками AB и AC с общим концом?

9. Как обозначается угол треугольника MNK при вершине M?

Задачи и упражнения

1. На рис. 1 нарисуйте угол. Отметьте по одной точке на его сторонах. Обозначьте эти точки и вершину угла буквами.

Запишите обозначение этого угла.

2. На рис. 2 нарисуйте и обозначьте угол.

Укажите, какие плоские углы соответРис. 1 ствуют этому углу.

Рис. 2 Рис. 3

3. На рис. 3 нарисуйте два отрезка с общим концом. Обозначьте концы отрезков буквами. Запишите обозначение этого угла.

4. На рис. 4 нарисуйте четыре различных луча с началом в точке O.

Сколько углов вы можете указать на рисунке?

Рис. 4 Рис. 5 5.* На рис. 5 нарисуйте три различных луча с началом в точке O. Сколько плоских углов вы можете указать на рисунке?

1.1. Сколько неразвёрнутых углов можно указать, выбирая стороны из четырёх лучей, проведённых из одной точки О, если никакие два из этих лучей не лежат на одной прямой?

1) 4 2) 6 3) 8 4) 10

1.2. На рис. 6 изображены две пересекающиеся прямые. Сколько всего плоских углов можно указать, выбирая стороны углов из лучей этих прямых?

Рис. 6 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12 Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. На рис. 7 изображены два луча AB и AC и пять точек. Какие из указанных точек не содержит плоский угол BAC, внутри которого находится точка M?

1) N 2) K 3) L 4) P

2.2. На луче KN отметили точки A и B, на луче KM отметили точки C и D. Какие из приведённых записей являются обозначениями угла MKN?

1) AKB; 2) BKC; 3) AKD; 4) CKD.

Занятие 2. РАВЕНСТВО УГЛОВ Контрольные вопросы и задания

1. Какой значок используют для обозначения угла?

2. Точки M, N лежат на одной стороне угла с вершиной O, точки E, F на другой его стороне. Запишите четыре обозначения этого угла, используя указанные точки.

3. Сколько плоских углов определяют два различных луча с общей вершиной?

4.** Какая фигура называется плоским развёрнутым углом?

5. В каком случае два угла, образованные лучами с общей вершиной, называются равными?

6. В каком случае два плоских угла называются равными?

Задачи и упражнения

1. На рис. 1 изображены равные углы AOB, BOC, COD. Как переместить копию угла BOD, чтобы она совместилась с углом AOС?

– – –

3. При выбранной единице измерения углов плоский угол AOB составлен из 5 эталонных углов, плоский угол BOC составлен из 6 эталонных углов. Чему равна мера угла AOC, составленного из углов AOB и BOC, в выбранных единицах измерения углов?

4. Плоский угол составлен из 73 плоских углов, равных 1°. Чему равна градусная мера этого угла?

5. Что называют величиной угла (в градусах)?

6. Чему равна величина развёрнутого угла?

7. Что можно сказать о градусных мерах равных углов?

8. Что можно сказать об углах, имеющих равные градусные меры?

9. Сколько углов величины 154° можно отложить от заданного луча?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на клетчатой бумаге (рис. 2) прямоугольник PQRS и измерьте с помощью транспортира его углы. Запишите результаты измерения.

2. Измерьте углы треугольника ABC, изображённого на рис. 3. Запишите результаты измерений.

– – –

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. Пусть за единицу измерения углов выбран Рис. 3 плоский угол, градусная мера которого равна 12°.

Чему равна градусная мера угла, который в новых единицах имеет меру 8?

1) 84° 2) 96° 3) 108° 4) 112°

1.2. На плоскости задан луч AB. Сколько из вершины A можно провести лучей, образующих с лучом AB угол в 90°?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Рис. 4

2.1. Предположим, что при измерении плоских углов, которые можно разместить в полуплоскости, используется эталонный угол величиной 15°. Какие из указанных значений могут быть мерой таких углов в новых единицах измерения?

1) 8 2) 10 3) 12 4) 14

2.2. При измерении некоторого заданного угла эталонным углом величиной 15° получили, что в новых единицах измерения мера угла больше 8 и меньше 9. Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного угла?

1) 120° 2) 125° 3) 130° 4) 135° Занятие 4. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ Контрольные вопросы и задания

1. Какие значения может принимать градусная мера плоского угла, который размещается в некоторой полуплоскости?

2. Как на компасе выглядят направления:

а) на «норд-вест»? б) на «норд-ост»?

в) на «зюйд-ост»? г) на «зюйд-вест»?

3. Плоский угол составлен из 18 плоских углов, равных 1°. Чему равна градусная мера этого угла?

4. Какую величину имеет угол, равный углу в 15°?

5. Пусть задан луч MN. Сколько можно провести лучей MF таких, что FMN = 99°?

– – –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. При измерении некоторого заданного угла эталонным углом величиной 11° получили, что в новых единицах измерения мера угла больше 12 и меньше 13. Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного угла?

1) 130° 2) 135° 3) 140° 4) 145°

2.2. Измеряя угол, ученик установил, что его величина больше 38° и меньше 43°. Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение величины этого угла?

1) 37° 2) 40° 3) 43° 4) 46°

Занятие 5. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Контрольные вопросы и задания

1. Как определяется градусная мера плоского угла, который можно разместить в некоторой полуплоскости?

2. Какую величину имеет угол, составленный из двух углов величиной 69° и 73°?

3. Какую величину имеет угол, составленный из двух углов в 15° каждый?

4. Какую величину имеет угол, составленный из шести углов в 24° каждый?

5. Пусть задан луч MN. Сколько можно провести лучей MF таких, что FMN = 90°?

6.* Как можно назвать угол, который составлен из 18 плоских углов, равных 10°?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на рис. 2 четырёхугольник, похожий на четырёхугольник MNKL, который изображён на рис. 1. При помощи транспортира измерьте углы нового четырёхугольника, запишите результаты измерений и вычислите сумму градусных мер всех углов.

– – –

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. Пусть за единицу измерения углов выбран плоский угол, градусная мера которого равна 6°. Какую меру в новых единицах имеет развёрнутый угол?

1) 20 2) 25 3) 30 4) 35

1.2. Пусть за единицу измерения углов выбран плоский угол, градусная мера которого равна 5°. Какую меру в новых единицах имеет угол в 105°?

1) 18 2) 21 3) 24 4) 27 Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. В каких из указанных случаев градусная мера угла больше 90°?

1) угол составлен из 4 эталонных углов по 25°

2) угол составлен из 6 эталонных углов по 12°

3) угол составлен из 8 эталонных углов по 15°

4) угол составлен из 12 эталонных углов по 6°

2.2. В каких из указанных случаев градусная мера угла меньше 180°?

1) угол составлен из 5 эталонных углов по 30°

2) угол составлен из 7 эталонных углов по 20°

3) угол составлен из 13 эталонных углов по 15°

4) угол составлен из 19 эталонных углов по 9° Занятие 6. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ГРАДУСНОЙ МЕРЫ Контрольные вопросы и задания

1. В каких случаях говорят, что плоский угол ABC равен сумме плоских углов ABD и DBC?

2. Чему равна градусная мера суммы двух углов величиной 15° и 60°?

3. Чему равна градусная мера суммы двух углов величиной 63° и 79°?

4. Чему равна градусная мера суммы трёх углов величиной 25°, 35° и 45°?

5. Чему равна градусная мера суммы пяти равных углов величиной в 32° каждый?

6. При каком условии сумму двух плоских углов величиной ° и ° можно разместить в одной полуплоскости?

7. Чему равна градусная мера половины развёрнутого угла?

8. В каком случае луч OF называется биссектрисой плоского угла MON?

Задачи и упражнения

1. Найдите, чему равна градусная мера суммы углов величины 36° и 78°.

2. Плоский угол ВАС составлен из трёх углов величиной 27°, 49°, 35°.

Чему равна величина угла ВАС?

3. Плоский угол ВАС составлен из пяти углов величиной 11°, 13°, 17°, 22°, 26°. Чему равна величина угла ВАС?

4. Плоский угол ВАС составлен из пяти равных углов, величина каждого из которых равна 31°. Чему равна величина угла ВАС?

5. Два равных угла в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

6. Три равных угла в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

7.* Пять одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

8.** Пятнадцать одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

– – –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 30°, BOC = 45°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 15° 2) 45° 3) 75° 4) 90°

2.2. Известно, что AOB = 90°, BOC = 60°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 150° Занятие 7. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО СВОЙСТВА

ГРАДУСНОЙ МЕРЫ

Контрольные вопросы и задания

1. Чему равна величина плоского угла ABC, который составлен из плоских углов ABD и DBC?

2. Плоский угол величиной 76° составлен из двух углов, и величина одного из этих углов равна 47°. Чему равна градусная мера другого из этих двух углов?

3. Плоский угол величиной 123° составлен из двух углов, и величина одного из этих углов равна 58°. Чему равна градусная мера другого из этих двух углов?

4. Плоский угол величиной 136° составлен из двух равных плоских углов. Чему равна градусная мера каждого из этих двух углов?

5. Плоский угол величиной 141° составлен из трёх равных плоских углов. Чему равна градусная мера каждого из этих трёх углов?

6. Сколько биссектрис можно провести у заданного плоского угла?

Задачи и упражнения

1. Внутри плоского угла MNK величины 126° из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 64°. Чему равна величина угла PNK?

2. Вне плоского угла MNK величины 39° из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 77°. Чему равна величина угла PNK?

3. Внутри плоского угла MNK величины 108° из вершины N проведён луч NP так, что угол MNP в два раза больше угла PNK. Чему равна величина угла MNP?

4. Внутри плоского угла MNK величины 48° из вершины N проведён луч NP так, что угол MNP в пять раз больше угла PNK. Чему равна величина угла PNK?

5. Дан угольник, углы которого равны 45°, 45° и 90°. Углы какой величины можно изобразить с помощью этого угольника?

6. Дан угольник, углы которого равны 15°, 75° и 90°. Углы какой величины можно изобразить с помощью такого угольника?

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. На плоскости задан луч AB. В разных полуплоскостях относительно прямой AB провели лучи AC и AD так, что BAC = 130°, BAD = 145°. Чему равна величина угла CAD?

1) 85° 2) 95°; 3) 105° 4) 115°.

1.2. На плоскости проведены различные лучи AB, AC, AD, AE так, что величины углов BAC, CAD, DAE равны 105°. Чему равна величина угла BAE?

1) 25° 2) 35° 3) 45° 4) 55° Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 15°, BOC = 30°, COD = 60°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOD?

1) 15° 2) 45° 3) 75° 4) 105°

2.2. В полуплоскости проведён некоторый луч AB с вершиной на границе полуплоскости, и в этой полуплоскости нужно изобразить угол CAB величиной от 0° до 180°. Сколько может быть таких углов в зависимости от положения луча AB и заданной величины угла?

1) ни одного 2) 1 3) 2; 4) 3 Занятие 8. ПРЯМОЙ УГОЛ. КВАДРАТ. ПРЯМОУГОЛЬНИК Контрольные вопросы и задания

1. Как определяется прямой угол?

2. Чему равна градусная мера прямого угла?

3. Чему равны углы, образующиеся между пересекающимися линиями клетчатой бумаги?

4. Какое свойство углов квадрата вы знаете?

5. Какое свойство сторон квадрата вы знаете?

6. Какое свойство углов прямоугольника вы знаете?

7. Какое свойство сторон прямоугольника вы знаете?

Задачи и упражнения

1. Внутри плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 37°. Чему равна величина угла PNK?

2. Вне плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 62°. Чему равна величина угла PNK?

3.** Вне плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 115°. Найдите все значения, какие может иметь величина угла PNK.

– – –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 140°, BOC = 90°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 40° 2) 50° 3) 130° 4) 140°

2.2. Луч делит прямой угол на два угла. Измеряя больший из получившихся углов, ученик установил, что величина этого угла больше 77° и меньше 81°. Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение другого из полученных углов?

1) 9° 2) 10° 3) 11° 4) 12° Занятие 9. ВИДЫ УГЛОВ. ТУПОЙ И ОСТРЫЙ УГОЛ Контрольные вопросы и задания

1. Какой угол называется развёрнутым?

2. Какой угол называется прямым?

3. Какой угол называется острым?

4. Какой угол называется тупым?

5. Как можно назвать угол величиной 79°?

6. Как можно назвать угол величиной 91°?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на рис. 1 треугольник, у которого все углы острые.

– – –

4.** Нарисуйте на рис. 4 четырёхугольник с тремя острыми углами.

5. Часы показывают указанное время. Отметьте случаи, когда часовая и минутная стрелки образуют острые углы.

а) 2 ч 5 мин б) 4 ч 10 мин в) 12 ч 30 мин г) 12 ч 14 мин д) 3 ч 48 мин 6.** Найдите, какой угол образуют минутная и часовая стрелки, когда часы показывают:

а) 12 ч 12 мин б) 2 ч 24 мин в) 1 ч 36 мин г) 3 ч 48 мин

– – –

Занятие 10. СМЕЖНЫЕ УГЛЫ Контрольные вопросы и задания

1. Из точки M, лежащей на отрезке AB, проведён луч MC. Какой угол будет смежным к углу BMC?

2. В каком случае углы AMB и BMC будут смежными?

3. Что вы можете сказать о вершинах двух смежных углов?

4. Что вы можете сказать о сторонах двух смежных углов?

5. Каким свойством обладают величины смежных углов AOB и BOC?

6. Известно, что MNK = 73°. Какую величину имеет смежный с ним угол?

7. Что вы можете сказать об угле, смежном острому углу?

8. Что вы можете сказать об угле, смежном тупому углу?

9. В каком случае угол равен смежному с ним углу?

Задачи и упражнения

1. Даны два смежных угла. Величина одного из них на 28° больше другого. Чему равны эти углы?

2. Некоторый угол на 72° больше смежного с ним угла. Чему равен каждый из этих углов?

3. Даны два смежных угла. Величина одного из них в четыре раза больше другого. Чему равны эти углы?

4. Даны два смежных угла. Величина одного из углов в пять раз больше величины другого. Чему равна величина каждого из этих углов?

5. Даны два смежных угла. Величина одного из них на 36° меньше величины другого. Чему равна величина каждого из этих углов?

6. Сумма градусных мер двух углов, смежных с данным углом, равна 70°. Чему равна величина данного угла?

7. Величины двух смежных углов относятся как 7: 9. Чему равны эти углы?

– – –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что величина угла AOB больше 112°. Какие из приведённых значений не могут быть величиной угла, смежного к углу AOB?

1) 55° 2) 60° 3) 65° 4) 70°

2.2. Известно, что углы AOB и BOC являются смежными, и AOB 4 · BOC. Какие значения может иметь величина угла BOC?

1) 30° 2) 35° 3) 40° 4) 45°

– – –

2. Что вы можете сказать о вершинах двух вертикальных углов?

3. Что вы можете сказать о сторонах двух вертикальных углов?

4. Каким свойством обладают величины вертикальных углов AOB и COD?

5. Известно, что MNK =123°. Какую величину имеет вертикальный с ним угол?

6. Что вы можете сказать об угле, вертикальном по отношению к острому углу?

7. Что вы можете сказать об угле, вертикальном по отношению к тупому углу?

Задачи и упражнения

1. Один из двух углов, полученных при пересечении двух прямых, в три раза больше другого. Найдите и запишите величины всех углов с вершиной в точке пересечения прямых.

2. Три угла из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, в сумме составляют 240°. Чему равен четвёртый угол?

3.* Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 100°. Чему равны два других угла?

4.* Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 320°. Чему равны два других угла?

5.** Сумма трёх углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 280°. Чему равны два других угла?

6.** Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 180°. Чему равны два других угла?

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Символ π , как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω .

Так, для рисунка справа записи γ , ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} и ∠ (b a) {\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

Угловая мера

равным углам соответствует равная угловая мера;
меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для угла между параллельными прямыми);
каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля;
(аддитивность) угловая мера угла равна сумме угловых мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

квадрант (прямой угол, 1 ⁄ 4 окружности);
секстант ( 1 ⁄ 6 окружности);
октант ( 1 ⁄ 8 окружности; кроме того, в стереометрии октантом называется трёхгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными плоскостями),

Направление отсчёта углов

Стрелкой показано направление отсчёта углов

Телесный угол

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

двугранный угол - часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися плоскостями;
трёхгранный угол - часть пространства, ограниченная тремя пересекающимися плоскостями;
многогранный угол - часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.

Угол между кривыми

Угол и скалярное произведение

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x , y) {\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя | | x | | = (x , x) . {\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши - Буняковского (Коши - Шварца) для скалярного произведения: | (x , y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , {\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда , когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически - их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x , y) | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными , если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

Угол в метрическом пространстве

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Измерение углов

гониометр - прибор для лабораторного измерения углов;
кипрегель - геодезический угломерный инструмент.