МКОУ «Аннинская СОШ с УИОП»

Симметрия в пространстве

Симметрия

Симметрия в широком смысле - соответствие, неизменность, проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях.

Центральная симметрия

Параллельный перенос

Осевая симметрия

Симметрия

Зеркальное отражение или зеркальная симметрия - движение евклидова пространства, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (в случае трехмерного пространства - просто плоскостью).

Осевая симметрия

При осевой симметрии каждая точка фигуры переходят в точку, симметричную ей относительно плоскости

Осевая симметрия

Центральная симметрия

Центральной симметрией относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A - середина отрезка XX′.

Центральная симметрия

Центральная симметрия

Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

Параллельный перенос

Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос

Симметрия в физике

В теоретической физике, поведение физической системы описывается некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин (интегралов движения ).

Симметрия в биологии

Симметрия в биологии - это закономерное расположение подобных частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии.

Симметрия в химии

Симметрия важна для химии, так как она объясняет наблюдения в спектроскопии, квантовой химии и кристаллографии.

Симметрия в религиозных символах

Предполагается, что тенденция людей видеть цель в симметрии, является одной из причин, почему симметрия часто является неотъемлемой частью символов мировых религий. Вот лишь некоторые из многих примеров, изображённые на рисунке.

Симметрия в социальных взаимодействиях

Люди наблюдают симметричную природу (также включающую асимметричный баланс) социального взаимодействия в различных контекстах. Они включают оценки взаимности, эмпатии, извинения, диалога, уважения, справедливости и мести. Симметричные взаимодействия посылают сигналы «мы одинаковые», а асимметричные взаимодействия выражают мысль «я особый, лучше, чем ты».

На данном уроке мы опишем виды симметрии в пространстве, познакомимся с понятием правильного многогранника.

Как и в планиметрии, в пространстве мы будем рассматривать симметрию относительно точки и относительно прямой, но дополнительно появится симметрия относительно плоскости.

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно точки О (центра симметрии), если О - середина отрезка . Точка О симметрична сама себе.

Чтобы для заданной точки А получить симметричную ей точку относительно точки О, нужно провести прямую через точки А и О, отложить от точки О отрезок, равный ОА, и получить искомую точку (рисунок 1).

Рис. 1. Симметрия относительно точки

Аналогично точки В и симметричны относительно точки О, т. к. О - середина отрезка .

Так, задан закон, согласно которому каждая точка плоскости переходит в другую точку плоскости, и мы говорили, что при этом сохраняются любые расстояния, то есть .

Рассмотрим симметрию относительно прямой в пространстве.

Чтобы получить для заданной точки А симметричную точку относительно некоторой прямой а, нужно из точки А на прямую опустить перпендикуляр и отложить на нем равный отрезок (рисунок 2).

Рис. 2. Симметрия относительно прямой в пространстве

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии) если прямая а проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Каждая точка прямой симметрична сама себе.

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии) если плоскость проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Каждая точка плоскости симметрична сама себе (рисунок 3).

Рис. 3. Симметрия относительно плоскости

Некоторые геометрические фигуры могут иметь центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии.

Определение.

Точка О называется центром симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, в параллелограмме и параллелепипеде точка пересечения всех диагоналей является центром симметрии. Проиллюстрируем для параллелепипеда.

Рис. 4. Центр симметрии параллелепипеда

Так, при симметрии относительно точки О в параллелепипеде точка А переходит в точку , точка В - в точку и т. д., таким образом, параллелепипед переходит сам в себя.

Определение.

Прямая называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, каждая диагональ ромба является для него осью симметрии, ромб переходит сам в себя при симметрии относительно любой из диагоналей.

Рассмотрим пример в пространстве - прямоугольный параллелепипед (боковые ребра перпендикулярны основаниям, в основаниях - равные прямоугольники). Такой параллелепипед имеет оси симметрии. Одна из них проходит через центр симметрии параллелепипеда (точку пересечения диагоналей) и центры верхнего и нижнего оснований.

Определение.

Плоскость называется плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, прямоугольный параллелепипед имеет плоскости симметрии. Одна из них проходит через середины противоположных ребер верхнего и нижнего оснований (рисунок 5).

Рис. 5. Плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда

Элементы симметрии присущи правильным многогранникам.

Определение.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

Теорема.

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при .

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда - правильный шестиугольник. Все его внутренние углы равны :

Тогда при внутренние углы будут и больше.

В каждой вершине многогранника сходятся не менее трех ребер, значит, в каждой вершине содержится не менее трех плоских углов. Их общая сумма (при условии, что каждый больше либо равен ) больше либо равна . Это противоречит утверждению: в выпуклом многограннике сумма плоских всех углов при каждой вершине меньше .

Теорема доказана.

Куб (рисунок 6):

Рис. 6. Куб

Куб составлен из шести квадратов; квадрат - это правильный многоугольник;

Каждая вершина - это вершина трех квадратов, например вершина А - общая для граней-квадратов ABCD, ;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. состоит из трех прямых углов. Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

Куб имеет центр симметрии - точка пересечения диагоналей;

Куб имеет оси симметрии, например прямые а и b (рисунок 6), где прямая а проходит через середины противоположных граней, а b - через середины противоположных ребер;

Куб имеет плоскости симметрии, например плоскость, которая проходит через прямые а и b.

2. Правильный тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны между собой):

Рис. 7. Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный тетраэдр состоит из трех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

Правильный тетраэдр имеет оси симметрии, они проходят через середины противоположных ребер, например прямая MN. Кроме того, MN - расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD, MN перпендикулярно ребрам АВ и CD;

Правильный тетраэдр имеет плоскости симметрии, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра (рисунок 7);

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

3. Правильный октаэдр:

Состоит из восьми равносторонних треугольников;

В каждой вершине сходятся по четыре ребра;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный октаэдр состоит из четырех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

4. Правильный икосаэдр:

Состоит из двадцати равносторонних треугольников;

В каждой вершине сходятся по пять ребер;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный икосаэдр состоит из пяти плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

5. Правильный додекаэдр:

Состоит из двенадцати правильных пятиугольников;

В каждой вершине сходятся по три ребра;

Сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

Итак, мы рассмотрели виды симметрии в пространстве и дали строгие определения. Также определили понятие правильного многогранника, рассмотрели примеры таких многогранников и их свойства.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.

1. Matemonline.com ().
2. Fmclass.ru ().
3. 5klass.net ().

Домашнее задание

1. Укажите количество осей симметрии прямоугольного параллелепипеда;
2. укажите количество осей симметрии правильной пятиугольной призмы;
3. укажите количество плоскостей симметрии октаэдра;
4. постройте пирамиду, у которой есть все элементы симметрии.

Слайд 2

Форма урока:Урок – семинар, решение проблемного вопроса

Цели урока: Актуализировать личностное осмысление учащимися учебного материала «Движения в пространстве» Содействовать сознательному пониманию прикладного значения темы, развитию умения видеть в окружающей действительности изучаемые виды движений Развивать познавательный интерес к построению образов объектов при различных видах движений Способствовать грамотному усвоению темы, отработке практических навыков

Слайд 3

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.Г. Вейль.

Слайд 4

Движение пространства - это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.

Слайд 5

Центральная симметрия

Слайд 6

Центральная симметрия – отображение пространства на себе, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О.

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Фигуры, обладающие Центральной симметрией

Слайд 10

Ст. метро Сокол

Слайд 11

Ст. метро Римская

Слайд 12

Павильон Культура, ВВЦ

Слайд 13

.О

Слайд 14

Осевая симметрия

Слайд 15

Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а. Осевая симметрия – это движение. а Осевая симметрия M M1

Слайд 16

Х y Z О M(x;y;z) M1(x1;y1;z1) Докажем, что осевая симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyzтак, чтобы ось Oz совпала с осью симметрии, и установим связь между координатами двух точек M(x;y;z) и M1(x1;y1 ;z1) симметричных относительно оси Oz. Если точка М не лежит на оси Oz, то ось Oz: 1) проходит через середину отрезка MM1 и 2) перпендикулярна к нему. Из первого условия по формулам для координат середины отрезка получаем (x+x1)/2=0 и (y+y1)/2=0, откуда x1=-x и y1=-z. Второе условие означает, что аппликаты точек M и M1 равны: z1=z. Доказательство

Слайд 17

Доказательство

Рассмотрим теперь любые две точки A(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками A1 и B1 равно AB. Точки A1 и B1 имеют координаты A1(-x1;-y1;-z1) и B1(-x1;-y1;-z1) По формуле расстояния между двумя точками находим: AB=\/(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1), A1B1=\/(-x2+x1)²+(-y2+y1)²+(-z2+z1). Из этих соотношений ясно, что AB=A1B1, что и требовалось доказать.

Слайд 18

Применение

Осевая симметрия встречается очень часто. Ее можно увидеть как в природе: листья растений или цветы, тело животных насекомых и даже человека, так и в творении самого человека: здания, автомобили, техника и многое другое.

Слайд 19

Слайд 20

Применение осевой симметрии в жизни

Архитектурные строения

Слайд 21

Снежинки и тело человека

Слайд 22

Эйфелева Башня сова

Слайд 23

Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки. Эммануил Кант.Зеркальная симметрия

Слайд 24

Отображение объемной фигуры, при котором каждой ее точкесоответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости,называется отражением объемной фигуры в этой плоскости (или зеркальнойсимметрией).

Слайд 25

Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть,является движением.Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскостинеподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественнымотображением.Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующихточек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходитчерез середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

Слайд 26

Докажем, что зеркальная симметрия – это движениеДля этого введем прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы плоскость Оxy совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М(x; y; z) и М1(x1;y1;z1), симметричных относительно плоскости Оxy.

Слайд 27

Если точка М не лежит в плоскости Оxy, то эта плоскость: 1) проходит через середину отрезка ММ1 и 2) перпендикулярна к нему. Из первого условия по формуле координат середины отрезка получаем (z+z1)/2=0, откуда z1=-z. Второе условие означает, что отрезок ММ1 параллелен оси Оz, и. следовательно, х1=х, у1=у. М лежит в плоскости Oxy. Рассмотрим теперь две точки А (х1;у1;z1) и В (х2;у2;z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А1(х1;у1;-z1) и В (х2;у2;-z2). По формуле расстояния между двумя точками находим: АВ= корень квадратный из (х2-х1)2+(у2-у1)2+(z2-z1)2, А1В1=корень квадратный из (х2-х1)2+(у2-у1)2+(-z2-z1)2. Из этих соотношений ясно, что и требовалось доказать.

Слайд 28

Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия) пространства есть движение, а значит, обладает всеми свойствами движений: переводит прямую в прямую, плоскость --- в плоскость. Кроме того, это преобразование пространства, совпадающее со своим обратным: композиция двух симметрий относительно одной и той же плоскости есть тождественное преобразование. При симметрии относительно плоскости все точки этой плоскости, и только они, остаются на месте (неподвижные точки преобразования). Прямые, лежащие в плоскости симметрии и перпендикулярные ей, переходят в себя. Плоскости, перпендикулярные плоскости симметрии также переходят в себя. Симметрия относительно плоскости является движением второго рода (меняет ориентацию тетраэдра).

Слайд 29

Шар симметричен относительно любой оси, проходящей через его центр.

Слайд 30

Прямой круговой цилиндр симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось.

Слайд 31

Правильная n-угольная пирамида при четном n симметрична относительно любой плоскости, проходящей через ее высоту и наибольшую диагональ основания.

Слайд 32

Обычно считают,что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности это не совсем так. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. В сравнении с самим объектом его зеркальный двойник оказывается "вывернутым" вдоль направления перпендикулярного к плоскости зеркала.Этот эффект хорошо виден на одном рисунке и фактически незаметен на другом.

Слайд 33

Предположим,что одна половина объекта является зеркальным двойником по отношению к другой его половине. Такой объект называют зеркально симметричным.Он преобразуется сам в себя при отражении в соответствующей зеркальной плоскости. Эту плоскость называют плоскостью симметрии.

Симметрия в пространстве - это красивое, гармоничное и уравновешенное пропорциональное соотношение частей или элементов различных форм предметов, организмов или объектов. В пространстве вокруг нас можно наблюдать очень много неживых предметов симметричной формы. Живые организмы, как простейшие, так и сложные высокоорганизованные, также в своем строении имеют элементы симметрии.

Стремление к совершенству

Симметричную форму можно отождествить с совершенством и гармонией. Недаром такие слова, как «симметрия» и «совершенство» являются синонимами в языках многих народов.

Симметрия в пространстве встречается повсюду. Многообразие форм растений и живых организмов поражает соразмерностью, согласованностью и эргономичностью формы. Тут все продумано до мелочей: поразительная красота, изящность пропорций и ничего лишнего. Все предусмотрено для наилучшей функциональности жизни.

Центральная симметрия

В пространстве окружающего нас мира неживой природы явственно видна в устройстве кристаллов. Этот вид симметрии хорошо прослеживается в строении снежинок, являющихся кристаллами льда. Их формы поражают многообразием. Но все они центрально симметричны.

Примером центральной или радиальной симметрии могут служить цветы растений: подсолнух, ромашка, ирис, астра. Этот вид симметрии еще называют поворотным. Если лепестки цветка или лучи снежинки поворачивать относительно центра, то они наложатся друг на друга.

Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия в пространстве окружающего нас природного мира наблюдается у растений и животных. дуба или папоротника, жук или бабочка, паук или гусеница, мышь или заяц - вот только некоторые примеры, где можно в живых организмах увидеть билатеральную, или зеркальную симметрию. Симметричны человека, а также части тела: руки, ноги. В этих формах мы наблюдаем как бы зеркальное отражение одной половины объекта от другой. Если расположить объект в плоскости, то его изображение можно мысленно согнуть посередине, и одна половинка наложится на другую.

Гипотеза возникновения симметрии

В научном мире существует несколько гипотез, с помощью которых пытаются объяснить, как возникла симметрия в пространстве нашего мира. Согласно одной из них, все, что растет вверх или вниз, подчинено закону А то, что формируется параллельно земной поверхности или под наклоном к ней, принимает зеркально-симметричную форму. Эти свойства пытаются объяснить земным притяжением от центра планеты и различной степенью освещенности объектов солнечным светом в зависимости от их расположения.

Симметрия в науке и искусстве

Симметрия в пространстве была оценена художниками, скульпторами и архитекторами еще в глубокой древности. Мы видим элементы симметрии в древних наскальных изображениях, в орнаментальных украшениях древних предметов и оружия. Египетские пирамиды и пирамиды майя, купола славянских соборов, греческих храмов и дворцов, античные арки и амфитеатры, фасад Белого дома и Московский Кремль - вот только некоторые примеры стремления к возвышенной красоте и подлинному совершенству.

Понятия симметрии серьезно разрабатывались математиками. Проведенные математические исследования позволили выделить основные закономерности симметрии на плоскости и в пространстве. Физика и химия также не обошли стороной эту интересную природную закономерность. Академик В. И. Вернадский считал, что «симметрия... охватывает свойства всех полей, с которыми имеет дело физик и химик». Благодаря симметричному строению атомов, молекулы вступают в различные реакции и обусловливают физические свойства формирования кристаллов. Даже если законы физики, устанавливающие физические величины, будут неизменны при различных преобразованиях, то можно сказать, что эти законы обладают инвариантностью или симметрией по отношению к данным преобразованиям.