Cтраница 1

Теорема Фробениуса дает характеризацию двудольных графов, обладающих совершенным паросочетанием. Теорема Холла содержит характеризацию двудольных графов, имеющих паросочетание из А в В. Теорема Кенига дает формулу для числа паросочетания в двудольном графе.  

Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов.  

Теорема Фробениуса доказана полностью.  

Теорема Фробениуса т умюжения Основное поле / С играет при этом роль единицы, поскольку А К - А для любой алгебры А. Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А, действительно, с точностью до матриц является обратной к алгебре А в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве классов изоморфизма центральных тел структуру группы следующим образом.  

Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-benius и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley по группам Ли. В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету. Впоследствии он был еще обобщен - см. Sussmann , - однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины распределение или дифференциальная система применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей.  

Теоремы Фробениуса и Шура имеют сложное комбинаторное доказательство.  

Из теоремы Фробениуса следует расщепляемость групп Фробениуса. Если Н - дополнительный множитель группы Фробени уса, то нормализатор любой подгруппы Ях из Н содержится в последней. Так как то же самое справедливо для любой подгруппы, сопряженной с Я, то сильно изолирован инвариантный множитель группы Фробениуса. Следовательно, любой неединичлый элемент, не содержащийся в инвариантном множителе, индуцирует в нем регулярный автоморфизм.  

По теореме Фробениуса - Перрона любая положительная матрица (или неотрицательная, но неразложимая) имеет положительное действительное собственное значение A mas, которому отвечает единственный (с точностью до множителя) собственный вектор с положительными компонентами. Тем самым существование вектора приоритетов (весов элементов) обеспечивается во всех случаях, когда в матрице суждений имеются лишь положительные элементы.  

По теореме Фробениуса все числа (129) отличны от нуля и одного знака.  

По теореме Фробениуса [ 1, § 10, 9J кажущийся более общим случай dwj i /, Л Wk сводится к только что рассмотренному с помощью подходящих линейных комбинаций, и эти условия необходимы и достаточны для локальной интегрируемости. Они гарантируют, что элемент поверхности может быть продолжен с инфинитезимального на локальный уровень; вопрос же о возможности продолжения на глобальный уровень остается открытым. В этом случае N характеризуется векторным полем X Т 1, и, как показано в параграфе 2.3, в X локально всегда существуют интегральные кривые. В общем случае n - мерные подмногообразия инвариантны относительно локальных потоков Фх, порожденных векторным полем X, удовлетворяющим условию (wj Х) 0, и даже локально порожденных, если Фх могут действовать на точку.  

Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что: 1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля. 2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля. Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля: 3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля. Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8. Лит.: Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973. О. А. Иванова.

Смотреть значение Фробениуса Теорема в других словарях

Теорема — теоремы, ж. (от греч. theorema, букв. зрелище) (науч.). Положение, справедливость к-рого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных........
Толковый словарь Ушакова

Теорема Ж. — 1. Положение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем доказательства (в математике).
Толковый словарь Ефремовой

Вторая Теорема Экономики Благосостояния — - утверждает, что всякое Парето-оптимальное состояние является равновесным для некоторого первоначального распределения вкладов факторов производства.
Экономический словарь

Двухфондовая Теорема Разделения — Теоретическое утверждение о том, что все
инвесторы предпочитают вкладывать средства в комбинацию двух активов: безрискового
актива и рыночного портфеля.
Экономический словарь

Разделительная Теорема Фишера — Выбор компанией инвестиций не зависит от отношения владельцев к данным
инвестициям. Также называется теоремой раздельного портфеля (portfolio separation theorem).
Экономический словарь

Теорема Взаимного Фонда — Результат, сопряженный с
моделью определения стоимости
капитала и утверждающий, что
инвесторы предпочтут составить весь рискованный
портфель из акций........
Экономический словарь

Теорема Выравнивания Цен На Факторы Производства (теорема Хекшера-олина- Самуэльсона) — - согласно ей под воздействием развития международной торговли происходит
выравнивание абсолютных и относительных цен на
факторы производства в участвующих в торговле странах
Экономический словарь

Теорема Коуза — - дает решение того, как на основе прав собственности можно бороться с "внешними эффектами": шумом аэродрома, нарушающим покой; фабричным дымом, отравляющим воздух и........
Экономический словарь

Теорема О Разделении — (separation theorem) – в модели оценки капитальных активов – утверждение согласно которому
оптимальный
портфель рискованных активов для любого
инвестора не зависит........
Экономический словарь

Теорема Об Эффективном Множестве (efficient Set Theorem) — утверждение о том, что инвесторы будут выбирать портфели только из эффективного множества.
Экономический словарь

Теорема Паритета Процентных Ставок — Разница в процентных
ставках двух стран равна разнице между форвардным валютным курсом и наличным курсом.
Экономический словарь

Теорема Равенства Цен Спот И Фьючерс — Теорема, описывающая идеальную
зависимость между текущими ценами "
спот" и фьючерсными ценами. Там, где происходит
отклонение от такой идеальной зависимости,........
Экономический словарь

Теорема Разделения — Теорема, утверждающая, что
стоимость
инвестиции для каждого индивидуального
инвестора не зависит от его потребительских предпочтений. Любой инвестор примет........
Экономический словарь

Теорема Разделения (separation Theorem) — свойство САРМ, состоящее в том, что оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его отношения к риску и доходности.
Экономический словарь

Теорема Разделения Портфеля / Теорема Раздельного Портфеля — Выбор инвестором рискованного инвестиционного портфеля осуществляется независимо от его отношения к
риску. Ср. Fishers separation theorem (
разделительная теорема Фишера)
Экономический словарь

Теорема Рыбчинского — (в теории международной торговли) - согласно ей увеличение
предложения и использования одного из факторов производства приводит к непропорционально большому увеличению........
Экономический словарь

Теорема Самуэльсона-джонса — (в теории международной торговли) - согласно ей
развитие международной торговли приводит к
росту доходов владельцев факторов, специфических для
экспорто-ориентированных........
Экономический словарь

Теорема Столпера-сэмюэльсона — экономическое положение, согласно которому повышение цены любого товара при неизменных остальных факторах приводит к повышению цен тех ресурсов, которые используются........
Экономический словарь

Теорема — -ы; ж. [греч. theōrēma] Математическое положение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Геометрическая т. Доказать теорему.
Толковый словарь Кузнецова

Великая Теорема Ферма — , гипотеза, впервые высказанная ФЕРМА, что для всех целых чисел n2 не существует таких натуральных чисел х, у и z, которые удовлетворяли бы уравнению хn+уn=zn. На полях одной........

Теорема — , утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ФЕРМА.
Научно-технический энциклопедический словарь

Безу Теорема — остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x - b, где b - число, равен Pn(b). Установлена Э. Безу.

Бернулли Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарь

Вариньона Теорема — момент равнодействующей системы сил относительнолюбого центра (или оси) равен сумме моментов сил этой системы относительнотого же центра (оси).
Большой энциклопедический словарь

Виета Теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенногоквадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположнымзнаком, а произведение - свободному члену.
Большой энциклопедический словарь

Гаусса Теорема — основная теорема электростатики, устанавливающая связьмежду потоком напряженности электрического поля через замкнутуюповерхность и электрическим зарядом внутри этой поверхности.
Большой энциклопедический словарь

Жуковского Теорема: — подъемная сила - действующая на тело в потоке жидкостиили газа, обусловлена связанными с телом вихрями (т. н. присоединеннымивихрями), возникающими из-за вязкости жидкости........
Большой энциклопедический словарь

Ирншоу Теорема — сформулированная английским ученым С. Ирншоу в 19 в.теорема электростатики, согласно которой система покоящихся точечныхзарядов, расположенных на любом расстоянии........
Большой энциклопедический словарь

Косинусов Теорема — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношениямежду сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла Смежду сторонами a и b: c2 = a2 + b2 - 2abcosC.
Большой энциклопедический словарь

Лапласа Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей. Если прикаждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторогослучайного события Е равна р (0"р"1) и m - число........
Большой энциклопедический словарь

ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА

Описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8.

Лит. : Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.
О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА" в других словарях:

Теорема об условиях полной интегрируемости системы уравнений Пфаффа или (в геометрич. терминах) об условиях, при к рых заданное на дифференцируемом многообразии поле n мерных касательных подпространств является касательным полем нек рого слоения … Математическая энциклопедия

Пусть действительная квадратная матрица А, рассматриваемая как оператор в пространстве, не имеет инвариантных координатных подпространств (такая матрица наз. неразложимой) и неотрицательна (т. е. все ее элементы неотрицательны). И пусть ее… … Математическая энциклопедия

Пусть A квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения: наибольшее по модулю собственное число является вещественным и строго положительным это собственное значение является простым… … Википедия

Теорема Фробениуса Перрона (англ.): Пусть квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения: наибольшее по модулю собственное значение является вещественным и строго… … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус нем. Ferdinand Georg Frobenius … Википедия

- (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус Фердинанд Георг Фробениус (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус Фердинанд Георг Фробениус (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно … Математическая энциклопедия

Книги

• , Зорич В.. Эта книга - записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания для математиков, а также студентов и специалистов иных специальностей. Внем представлены три темы: -…
• Математический анализ задач естествознания , В. А. Зорич. Эта книга - записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания для математиков, а также студентов и специалистов иных специальностей. Внем представлены три темы: -…

:

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Пусть - тело , содержащее в качестве подтела тело R {\displaystyle \mathbb {R} } вещественных чисел, причём выполняются два условия:

  Другими словами, L {\displaystyle \mathbb {L} } является конечномерной алгеброй с делением над полем вещественных чисел.

  Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело L {\displaystyle \mathbb {L} } :

  Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям R {\displaystyle \mathbb {R} } . Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа , которое тоже является расширением R {\displaystyle \mathbb {R} } , но не конечномерным. Другой пример, алгебра рациональных функций .

  Следствия и замечания

  Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .

  Алгебры с делением над полем комплексных чисел

  Алгебра размерности n над полем комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тело кватернионов не является алгеброй над полем C {\displaystyle \mathbb {C} } , так как центром H {\displaystyle \mathbb {H} } является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над C {\displaystyle \mathbb {C} } является алгебра C {\displaystyle \mathbb {C} } .

  Гипотеза Фробениуса

  В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

  Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.

  См. также

  Литература

  • Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М. : Наука, 1990. - 320 с.
  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд . - М. : Наука, 1973. - 400 с.
  • Понтрягин Л. С. Обобщения чисел . - М. : Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).

  Счётные множества
  Вещественные числа и их расширения
  Инструменты расширения числовых систем
  Иерархия чисел	− 1 , 0 , 1 , … {\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots }

  Очевидно, что если, то для. Более того, мы покажем, что для достаточно больших p

  Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то

  Доказательство:

  Если взять произвольный вектор и, то. И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим, тогда и разбив матрицу А на блоки следующим образом

  

  мы будем иметь

  

  Учитывая, что, то, тогда получаем, что, что противоречит неприводимости матрицы

  Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y

  

  Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax) i - i-я координата вектора Ах

  Из определения следует, что и кроме того, r(x) -такое наименьшее значение, что

  Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на, поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество, такое

  

  Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим. По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому

  Обозначим через наибольшее число, для которого, . - спектральный радиус матрицы А. Если Можно показать, что существует вектор y, что

  Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz)

  Интерес к числу r объясняется следующим результатом

  Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r

  Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц

  Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица неотрицательна и неприводима, то:

  А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;

  существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.

  собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

  Теорема Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор

  Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.