3.1. Канонические уравнения прямой.

Пусть в системе координат Oxyz дана прямая, которая проходит через точку

(см. рис.18).Обозначим через
вектор, параллельный данной прямой. Векторназываетсянаправляющим вектором прямой. Возьмем на прямой точку
и рассмотрим вектор Векторы
коллинеарны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны:

(3.3.1 )

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Пример: Написать уравнения прямой, проходящей через точку M(1, 2, –1) параллельно вектору

Решение: Вектор является направляющим вектором искомой прямой. Применяя формулы (3.1.1), получим:

Это канонические уравнения прямой.

Замечание: Обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль соответствующего числителя, то есть y – 2 = 0; y = 2. Данная прямая лежит в плоскости y = 2, параллельной плоскости Oxz.

3.2. Параметрические уравнения прямой.

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

Обозначим
тогда
Величина t называется параметром и может принимать любые значения:
.

Выразим x, y и z через t:

(3.2.1 )

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пример 1: Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1, 2, –1) параллельно вектору

Решение: Канонические уравнения этой прямой получены в примере пункта 3.1:

Для нахождения параметрических уравнений прямой применим вывод формул (3.2.1):

Итак,
- параметрические уравнения данной прямой.

Ответ :

Пример 2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (–1, 0, 1) параллельно вектору
гдеA (2, 1, –1), B (–1, 3, 2).

Решение: Вектор
является направляющим вектором искомой прямой.

Найдем вектор
.

= (–3; 2; 3). По формулам (3.2.1) запишем уравнения прямой:

- это искомые параметрические уравнения прямой.

3.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Через две заданные точки в пространстве проходит единственная прямая (см. рис.20). Пусть даны точки Вектор
можно принять за направляющий вектор данной прямой. Тогда уравнения прямой находим по формулам (3.1.1):
).

(3.3.1)

Пример 1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки

Решение : Применяем формулу (3.3.1)

Получили канонические уравнения прямой. Для получения параметрических уравнений применим вывод формул (3.2.1). Получим

- это параметрические уравнения прямой.

Пример 2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки

Решение : По формулам (3.3.1) получим:

Это канонические уравнения.

Переходим к параметрическим уравнениям:

- параметрические уравнения.

Полученная прямая параллельна оси oz (см. рис.21).

Пусть в пространстве даны две плоскости

Если эти плоскости не совпадают и не параллельны, то они пересекаются по прямой:

Эта система двух линейных уравнений задает прямую как линию пересечения двух плоскостей. От уравнений (3.4.1) можно перейти к каноническим уравнениям (3.1.1) или параметрическим уравнениям (3.2.1). Для этого необходимо найти точку
лежащую на прямой, и направляющий векторКоординаты точки
получим из системы (3.4.1), придав одной из координат произвольное значение (например,z = 0). За направляющий вектор можно взять векторное произведение векторовто есть

Пример 1. Составить канонические уравнения прямой

Решение: Пусть z = 0. Решим систему

Сложив эти уравнения, получим: 3x + 6 = 0
x = –2. Подставим найденное значение x = –2 в первое уравнение системы и получим: –2 + y + 1 = 0
y = 1.

Итак, точка
лежит на искомой прямой.

Для нахождения направляющего вектора прямой запишем нормальные векторы плоскостей: и найдем их векторное произведение:

Уравнения прямой находим по формулам (3.1.1):

Ответ:
.

Другой способ: Канонические и параметрические уравнения прямой (3.4.1) легко получить, найдя две различные точки на прямой из системы (3.4.1), а затем применив формулы (3.3.1) и вывод формул (3.2.1).

Пример 2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой

Решение: Пусть y = 0. Тогда система примет вид:

Сложив уравнения, получим: 2x + 4 = 0; x = –2. Подставим x = –2 во второе уравнение системы и получим: –2 –z +1 = 0
z = –1. Итак, нашли точку

Для нахождения второй точки положим x = 0. Будем иметь:

То есть

Получили канонические уравнения прямой.

Составим параметрические уравнения прямой:

Ответ :
;
.

3.5. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Пусть прямые
заданы уравнениями:

:
;
:

.

Под углом между этими прямыми понимают угол между их направляющими векторами (см. рис.22). Этот уголнаходим по формуле из векторной алгебры:
или

(3.5.1)

Если прямые
перпендикулярны (
),то
Следовательно,

Это условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Если прямые
параллельны (
),то их направляющие векторы коллинеарны (
), то есть

(3.5.3 )

Это условие параллельности двух прямых в пространстве.

Пример 1. Найти угол между прямыми:

а).
и

б).
и

Решение: а). Запишем направляющий вектор прямой
Найдем направляющий вектор
плоскостей, входящих в систему Затем найдем их векторное произведение:

(см. пример 1 пункта 3.4).

По формуле (3.5.1) получим:

Следовательно,

б). Запишем направляющие векторы данных прямых: Векторы
коллинеарны, так как их соответствующие координаты пропорциональны:

Значит прямые
параллельны (
), то есть

Ответ: а).
б).

Пример 2. Доказать перпендикулярность прямых:

и

Решение: Запишем направляющий вектор первой прямой

Найдем направляющий вектор второй прямой. Для этого находим нормальные векторы
плоскостей, входящих в систему: Вычислим их векторное произведение:

(См. пример 1пункта 3.4).

Применим условие перпендикулярности прямых (3.5.2):

Условие выполнено; следовательно, прямые перпендикулярны (
).

Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор

а =/= 0, коллинеарный прямой l , называется направляющим вектором этой прямой.

Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M 0 , а М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow{M_0 M}\) коллинеарен вектору а , т. е.

\(\overrightarrow{M_0 M}\) = ta , t \(\in \) R . (1)

Если точки М и M 0 заданы своими радиус-векторами r и r 0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow{M_0 M}\) = r - r 0 , и уравнение (1) принимает вид

r = r 0 + ta , t \(\in \) R . (2)

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром .

Пусть точка M 0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:

M 0 (х 0 ; у 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).

Тогда, если (х; у; z ) - координаты произвольной точки М прямой l , то

\(\overrightarrow{M_0 M} \) = (х - х 0 ; у - у 0 ; z - z 0)

и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:

х - х 0 = tа 1 , у - у 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3

$$ \begin{cases} x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end{cases} (3)$$

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M 0 (-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).

В данном случае х 0 = -3, у 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой

$$ \begin{cases} x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end{cases} $$

Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.

Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда

$$ t=\frac{x-x_0}{a_1},\;\;t=\frac{y-y_0}{a_2},\;\;t=\frac{z-z_0}{a_3} $$

и, следовательно,

$$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} \;\; (4)$$

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой .

Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.

Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а , например а 1 равна нулю, то, исключив параметр t , снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z :

\(x=x_0, \;\; \frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)

\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) параллельно координатной плоскости yOz , так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а 2 ; а 3).

Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а , например а 1 и а 2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид

х = х 0 , y = у 0 , z = z 0 + ta 3 , t \(\in \) R .

Это уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) параллельно оси Oz . Для такой прямой х = х 0 , y = у 0 , a z - любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)

\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{0}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а 1 , а 2 , а 3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.

Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:

\(\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-7}{3}\)

Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и

M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1), а за точку М 0 , через которую проходит прямая, например, точку M 1 . Тогда уравнения (4) запишутся так:

\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}=\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{z-z_1}{z_2 - z_1}\) (5)

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и

M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2).

Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).

В данном случае х 1 = -4, у 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, у 2 = 0, z 2 = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим

\(\frac{x+4}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+3}{6}\)

Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (3; -2; 1) и

M 2 (5; -2; 1 / 2).

После подстановки координат точек M 1 и M 2 в уравнения (5) получим

\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}\)

Одним из видов уравнений прямой в пространстве является каноническое уравнение. Мы рассмотрим это понятие во всех подробностях, поскольку знать его необходимо для решения многих практических задач.

В первом пункте мы сформулируем основные уравнения прямой, расположенной в трехмерном пространстве, и приведем несколько примеров. Далее покажем способы вычисления координат направляющего вектора при заданных канонических уравнениях и решение обратной задачи. В третьей части мы расскажем, как составляется уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в трехмерном пространстве, а в последнем пункте укажем на связи канонических уравнений с другими. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решения задач.

О том, что вообще из себя представляют канонические уравнения прямой, мы уже говорили в статье, посвященной уравнениям прямой на плоскости. Случай с трехмерным пространством мы разберем по аналогии.

Допустим, у нас есть прямоугольная система координат O x y z , в которой задана прямая. Как мы помним, задать прямую можно разными способами. Используем самый простой из них – зададим точку, через которую будет проходить прямая, и укажем направляющий вектор. Если обозначить прямую буквой a , а точку M , то можно записать, что M 1 (x 1 , y 1 , z 1) лежит на прямой a и направляющим вектором этой прямой будет a → = (a x , a y , a z) . Чтобы множество точек M (x , y , z) определяло прямую a , векторы M 1 M → и a → должны быть коллинеарными,

Если мы знаем координаты векторов M 1 M → и a → , то можем записать в координатной форме необходимое и достаточное условие их коллинеарности. Из первоначальных условий нам уже известны координаты a → . Для того чтобы получить координаты M 1 M → , нам необходимо вычислить разность между M (x , y , z) и M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Запишем:

M 1 M → = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1

После этого нужное нам условие мы можем сформулировать так: M 1 M → = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 и a → = (a x , a y , a z) : M 1 M → = λ · a → ⇔ x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ · a z

Здесь значением переменной λ может быть любое действительное число или ноль. Если λ = 0 , то M (x , y , z) и M 1 (x 1 , y 1 , z 1) совпадут, что не противоречит нашим рассуждениям.

При значениях a x ≠ 0 , a y ≠ 0 , a z ≠ 0 мы можем разрешить относительно параметра λ все уравнения системы x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ · a z

Между правыми частями после этого можно будет поставить знак равенства:

x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ · a z ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

В итоге у нас получились уравнения x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , с помощью которых можно определить искомую прямую в трехмерном пространстве. Это и есть нужные нам канонические уравнения.

Такая запись используется даже при нулевых значениях одного или двух параметров a x , a y , a z , поскольку она в этих случаях она также будет верна. Все три параметра не могут быть равны 0 , поскольку направляющий вектор a → = (a x , a y , a z) нулевым не бывает.

Если один-два параметра a равны 0 , то уравнение x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z носит условный характер. Его следует считать равным следующей записи:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

Частные случаи канонических уравнений мы разберем в третьем пункте статьи.

Из определения канонического уравнения прямой в пространстве можно сделать несколько важных выводов. Рассмотрим их.

1) если исходная прямая будет проходить через две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , то канонические уравнения примут следующий вид:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z .

2) поскольку a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором исходной прямой, то таковыми будут являться и все векторы μ · a → = μ · a x , μ · a y , μ · a z , μ ∈ R , μ ≠ 0 . Тогда прямая может быть определена с помощью уравнения x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или x - x 1 μ · a x = y - y 1 μ · a y = z - z 1 μ · a z .

Вот несколько примеров таких уравнений с заданными значениями:

Пример 1 Пример 2

Как составить каноническое уравнение прямой в пространстве

Мы выяснили, что канонические уравнения вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z будут соответствовать прямой, проходящей через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , а вектор a → = (a x , a y , a z) будет для нее направляющим. Значит, если мы знаем уравнение прямой, то можем вычислить координаты ее направляющего вектора, а при условии заданных координат вектора и некоторой точки, расположенной на прямой, мы можем записать ее канонические уравнения.

Разберем пару конкретных задач.

Пример 3

У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 . Запишите координаты всех направляющих векторов для нее.

Решение

Чтобы получить координаты направляющего вектора, нам надо просто взять значения знаменателей из уравнения. Мы получим, что одним из направляющих векторов будет a → = (4 , 2 , - 5) , а множество всех подобных векторов можно сформулировать как μ · a → = 4 · μ , 2 · μ , - 5 · μ . Здесь параметр μ – любое действительное число (за исключением нуля).

Ответ: 4 · μ , 2 · μ , - 5 · μ , μ ∈ R , μ ≠ 0

Пример 4

Запишите канонические уравнения, если прямая в пространстве проходит через M 1 (0 , - 3 , 2) и имеет направляющий вектор с координатами - 1 , 0 , 5 .

Решение

У нас есть данные, что x 1 = 0 , y 1 = - 3 , z 1 = 2 , a x = - 1 , a y = 0 , a z = 5 . Этого вполне достаточно, чтобы сразу перейти к записи канонических уравнений.

Сделаем это:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Ответ: x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Эти задачи – самые простые, потому что в них есть все или почти все исходные данные для записи уравнения или координат вектора. На практике чаще можно встретить те, в которых сначала нужно находить нужные координаты, а потом записывать канонические уравнения. Примеры таких задач мы разбирали в статьях, посвященных нахождению уравнений прямой, проходящей через точку пространства параллельно заданной, а также прямой, проходящей через некоторую точку пространства перпендикулярно плоскости.

Ранее мы уже говорили, что одно-два значения параметров a x , a y , a z в уравнениях могут иметь нулевые значения. При этом запись x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ приобретает формальный характер, поскольку мы получаем одну или две дроби с нулевыми знаменателями. Ее можно переписать в следующем виде (при λ ∈ R):

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

Рассмотрим эти случаи подробнее. Допустим, что a x = 0 , a y ≠ 0 , a z ≠ 0 , a x ≠ 0 , a y = 0 , a z ≠ 0 , либо a x ≠ 0 , a y ≠ 0 , a z = 0 . В таком случае нужные уравнения мы можем записать так:

1. В первом случае:
   x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ

Во втором случае:
x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y - y 1 = 0 z = z 1 + a z · λ ⇔ y - y 1 = 0 x - x 1 a x = z - z 1 a z = λ

В третьем случае:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z - z 1 = 0 ⇔ z - z 1 = 0 x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ

Получается, что при таком значении параметров нужные прямые находятся в плоскостях x - x 1 = 0 , y - y 1 = 0 или z - z 1 = 0 , которые располагаются параллельно координатным плоскостям (если x 1 = 0 , y 1 = 0 либо z 1 = 0). Примеры таких прямых показаны на иллюстрации.

Следовательно, мы сможем записать канонические уравнения немного иначе.

1. В первом случае: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R
2. Во втором: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R z - z 1 = 0
3. В третьем: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ , λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

Во всех трех случаях исходные прямые будут совпадать с координатными осями или окажутся параллельными им: x 1 = 0 y 1 = 0 , x 1 = 0 z 1 = 0 , y 1 = 0 z 1 = 0 . Их направляющие векторы имеют координаты 0 , 0 , a z , 0 , a y , 0 , a x , 0 , 0 . Если обозначить направляющие векторы координатных прямых как i → , j → , k → , то направляющие векторы заданных прямых будут коллинеарными по отношению к ним. На рисунке показаны эти случаи:

Покажем на примерах, как применяются эти правила.

Пример 5

Найдите канонические уравнения, с помощью которых можно определить в пространстве координатные прямые O z , O x , O y .

Решение

Координатные векторы i → = (1 , 0 , 0) , j → = 0 , 1 , 0 , k → = (0 , 0 , 1) будут для исходных прямых направляющими. Также мы знаем, что наши прямые будут обязательно проходить через точку O (0 , 0 , 0) , поскольку она является началом координат. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужные канонические уравнения.

Для прямой O x: x 1 = y 0 = z 0

Для прямой O y: x 0 = y 1 = z 0

Для прямой O z: x 0 = y 0 = z 1

Ответ: x 1 = y 0 = z 0 , x 0 = y 1 = z 0 , x 0 = y 0 = z 1 .

Пример 6

В пространстве задана прямая, которая проходит через точку M 1 (3 , - 1 , 12) . Также известно, что она расположена параллельно оси ординат. Запишите канонические уравнения этой прямой.

Решение

Учитывая условие параллельности, мы можем сказать, что вектор j → = 0 , 1 , 0 будет для нужной прямой направляющим. Следовательно, искомые уравнения будут иметь вид:

x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Ответ: x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Допустим, что у нас есть две несовпадающие точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , через которые проходит прямая. Как в таком случае мы можем сформулировать для нее каноническое уравнение?

Для начала примем вектор M 1 M 2 → (или M 2 M 1 →) за направляющий вектор данной прямой. Поскольку у нас есть координаты нужных точек, сразу вычисляем координаты вектора:

M 1 M 2 → = x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1

Получившиеся равенства – это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взгляните на иллюстрацию:

Приведем пример решения задачи.

Пример 7

в пространстве есть две точки с координатами M 1 (- 2 , 4 , 1) и M 2 (- 3 , 2 , - 5) , через которые проходит прямая. Запишите канонические уравнения для нее.

Решение

Согласно условиям, x 1 = - 2 , y 1 = - 4 , z 1 = 1 , x 2 = - 3 , y 2 = 2 , z 2 = - 5 . Нам требуется подставить эти значения в каноническое уравнение:

x - (- 2) - 3 - (- 2) = y - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6

Если мы возьмем уравнения вида x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , то у нас получится: x - (- 3) - 3 - (- 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6

Ответ: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 либо x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 .

Преобразование канонических уравнений прямой в пространстве в другие виды уравнений

Иногда пользоваться каноническими уравнениями вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z не очень удобно. Для решения некоторых задач лучше использовать запись x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В некоторых случаях более предпочтительно определить нужную прямую с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поэтому в данном пункте мы разберем, как можно перейти от канонических уравнений к другим видам, если это требуется нам по условиям задачи.

Понять правила перехода к параметрическим уравнениям несложно. Сначала приравняем каждую часть уравнения к параметру λ и разрешим эти уравнения относительно других переменных. В итоге получим:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ ⇔ x - x 1 a x = λ y - y 1 a y = λ z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

Значение параметра λ может быть любым действительным числом, ведь и x , y , z могут принимать любые действительные значения.

Пример 8

В прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана прямая, которая определена уравнением x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 . Запишите каноническое уравнение в параметрическом виде.

Решение

Сначала приравниваем каждую часть дроби к λ .

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + 7 0 = λ

Теперь разрешаем первую часть относительно x , вторую – относительно y , третью – относительно z . У нас получится:

x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + 7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = - 2 · λ z = - 7 + 0 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = - 2 · λ z = - 7

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = - 2 · λ z = - 7

Следующим нашим шагом будет преобразование канонических уравнений в уравнение двух пересекающихся плоскостей (для одной и той же прямой).

Равенство x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z нужно для начала представить в виде системы уравнений:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z

Поскольку p q = r s мы понимаем как p · s = q · r , то можно записать:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a z y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) a z · (x - x 1) = a x · (z - z 1) a z · (y - y 1) = a y · (z - z 1) ⇔ ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0 a z · x - a x · z + a x · z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0

В итоге у нас вышло, что:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0 a z · x - a x · z + a x · z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0

Выше мы отмечали, что все три параметра a не могут одновременно быть нулевыми. Значит, ранг основной матрицы системы будет равен 2 , поскольку a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 и один из определителей второго порядка не равен 0:

a y - a x a z 0 = a x · a z , a y 0 a z - a x = a x · a y , - a x 0 0 - a x = a x 2 a y - a x 0 a z = a y · a z , a y 0 0 - a y = - a y 2 , - a x 0 a z - a y = a x · a y a z 0 0 a z = a z 2 , a z - a x 0 - a y = - a y · a z , 0 - a x a z - a y = a x · a z

Это дает нам возможность исключить одно уравнение из наших расчетов. Таким образом, канонические уравнения прямой можно преобразовать в систему из двух линейных уравнений, которые будут содержать 3 неизвестных. Они и будут нужными нам уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассуждение выглядит довольно сложным, однако на практике все делается довольно быстро. Продемонстрируем это на примере.

Пример 9

Прямая задана каноническим уравнением x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 . Напишите для нее уравнение пересекающихся плоскостей.

Решение

Начнем с попарного приравнивания дробей.

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 1) = 2 y 0 · (x - 1) = 2 · (z + 2) 0 · y = 0 · (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

Теперь исключаем из расчетов последнее уравнение, потому что оно будет верным при любых x , y и z . В таком случае x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0 .

Это и есть уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые при пересечении образуют прямую, заданную с помощью уравнения x - 1 2 = y 0 = z + 2 0

Ответ: y = 0 z + 2 = 0

Пример 10

Прямая задана уравнениями x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 , найдите уравнение двух плоскостей, пересекающихся по данной прямой.

Решение

Приравниваем дроби попарно.

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 · (x + 1) = 2 · (y - 2) - 3 · (x + 1) = 2 · (z - 5) - 3 · (y - 2) = 1 · (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

Получаем, что определитель основной матрицы полученной системы будет равен 0:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 · 0 · 1 + (- 2) · 2 · 0 + 0 · 3 · 3 - 0 · 0 · 0 - 1 · 2 · 3 - (- 2) · 3 · 1 = 0

Минор второго порядка нулевым при этом не будет: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6 . Тогда мы можем принять его в качестве базисного минора.

В итоге мы можем вычислить ранг основной матрицы системы x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 . Это будет 2. Третье уравнение исключаем из расчета и получаем:

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Ответ: x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В прямоугольной системе координат на плоскости прямая линия может быть задана каноническим уравнением прямой. В этой статье мы сначала выведем , запишем канонические уравнения прямых на плоскости, которые параллельны координатным осям или совпадают с ними, а также приведем примеры. Далее покажем связь канонического уравнения прямой на плоскости с другими видами уравнения этой прямой. В заключении подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости.

Навигация по странице.

Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры.

Пусть на плоскости зафиксирована Oxy . Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a , если - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a .

Пусть - плавающая точка прямой a . Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты (при необходимости смотрите статью ). Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Пример.

Напишите каноническое уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки и .

Решение.

По известным координатам точек начала и конца мы можем найти координаты вектора : . Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор.

Решение.

Нормальный вектор прямой имеет координаты , причем этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем в силу перпендикулярности прямых. Таким образом, искомое каноническое уравнение прямой на плоскости запишется как .

Ответ:

Список литературы.

• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим