Допустим, что мы можем провести опыт при любом напряженном состоянии с пропорциональным изменением всех компонентов тензора напряжений. Выберем некоторое напряженное состояние, и будем пропорционально увеличивать все компоненты, пока напряженное состояние не станет предельным. В образце либо появятся пластические деформации, либо он разрушится. Вычертим на плоскости
наибольший из кругов Мора. Будем считать, что предельное состояние не зависит от. Взяв, далее, новые напряженные состояния построим круги 2, 3, 4 ……… Вычертим общую огибающую (рис. 10.6).

Примем, что эта огибающая является единственной для данного материала. Если огибающая задана, то можно при любом напряженном состоянии установить коэффициент запаса. В этом подходе, не было принято ни каких гипотез и теория Мора основана по логической систематизации результатов опытов.

Теперь построим огибающую по минимальному числу опытов. Наиболее простыми являются испытания на растяжение и сжатие. Два предельных круга построены на рис. 10.7.

Для определения огибающей важно найти т. , соответствующую трехосному равномерному растяжению. До сих пор нет метода, по определению этой точки экспериментальным путем. Вообще не удается провести опыты, когда все три главных напряжения являются растягивающими. Поэтому пока не удается построить для материала предельный круг, расположенный правее предельного круга растяжения. Сейчас огибающую аппроксимируют касательной к двум предельным кругам растяжения и сжатия. Когда будет возможность осуществлять всестороннее растяжение форму можно уточнить (рис. 10.8).

Рис. 10.8

Связь между напряжениями идля огибающей прямой можно представить в виде

(10.1)

Найдем коэффициент ивоспользовавшись предельными кругами растяжения и сжатия.

При растяжении
подставляя в 10.1 найдем

,
.

При сжатии

.

Таким образом:

Или окончательно получим

Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях

11.1. Понятие об усталостной прочности

С появлением первых машин стало известно, что под воздействием напряжений, переменных во времени, детали разрушаются при нагрузках меньших, чем те которые опасны при постоянных напряжениях. С развитием техники, созданием быстроходных машин стали обнаруживаться изломы осей вагонов и локомотивов, колес, рельсов, рессор, разного вида валов, шатунов и т.д. Изломы деталей происходили не сразу, часто после длительной работы машины. Как правило, детали разрушались без видимых остаточных деформаций даже в тех случаях, когда они изготавливались из пластичных материалов. Возникло предположение, что под влиянием переменных напряжений материал с течением времени постепенно перерождается, как бы “устает”, и вместо пластического становится хрупким.

Позднее с усовершенствованием лабораторных методов исследования было установлено, что структура и механические свойства материала не изменяются, но термин “усталость” хотя и не отвечает физической природе явления, остался, и им широко пользуются в настоящее время.

“Усталостное” разрушение материалов давно привлекает внимание исследований. Однако природа этого разрушения во многом до настоящего времени не ясна. Наиболее удовлетворительное объяснение на данном уровне развития науки состоит в следующем.

В зоне повышенных напряжений, обусловленных конструктивными технологическими или структурными факторами, могут образоваться микротрещины. При многократном изменении напряжений кристаллы, расположенные в зоне микротрещин начнут разрушаться и трещины начнут проникать в глубь детали. Соприкасающиеся поверхности в зоне трещины начнут притирать друг друга, образуя гладкую поверхность; так образуется одна из зон поверхности будущего излома. В результате развития трещины сечение ослабляется. На последнем этапе происходит внезапное разрушение. Излом имеет характерную поверхность с неповрежденными кристаллами (Рис. 11.1).

Допустим, что мы располагаем испытательной машиной, на которой образцу можно задавать любые напряженные состояния с пропорциональным изменением всех компонент.

Выберем некоторое напряженное состояние и будем одновременно увеличивать все компоненты. Рано или поздно это напряженное состояние станет предельным. Образец либо разрушится, либо в нем появятся пластические деформации. Вычертим для предельного состояния на плоскости наибольший из трех кругов Мора (круг 1, рис. 8.2). Будем в дальнейшем считать, что предельное состояние не зависит от Далее, на образце того же материала проводим испытание при другом напряженном состоянии. Снова путем пропорционального увеличения компонент добиваемся того, что напряженное состояние станет предельным. На диаграмме (см. рис. 8.2) вычерчиваем соответствующий круг (круг 2).

Вычерчиваем их общую огибающую. Примем, что эта огибающая является единственной, независимо от промежуточных главных напряжений . Это положение является основным допущением в излагаемой теории.

Форма огибающей предельных кругов Мора зависит от свойств материала и является его механической характеристикой, такой же, как, например, диаграмма растяжения. Если огибающая предельных кругов для материала дана, можно при любом заданном напряженном состоянии определить коэффициент запаса. Для этого надо по заданным напряжениям вычертить наибольший из трех кругов Мора, а затем, хотя бы графически, установить, во сколько раз следует увеличить чтобы увеличенный круг касался предельной огибающей.

В изложенном подходе к вопросам предельных состояний не содержится, как видим, критериальных гипотез, и теория Мора основана в первую очередь на логической систематизации результатов необходимых экспериментов.

Теперь нужно решить вопрос о том, как построить огибающую предельных кругов при ограниченном числе испытаний. Наиболее простыми являются испытания на растяжение и сжатие. Следовательно, два предельных круга получить просто (рис. 8.3). Можно получить еще один предельный круг путем испытания тонкостенной трубки на кручение. При этом материал будет находиться в состоянии чистого сдвига и центр соответствующего круга расположится в начале координат (рис. 8.4).. Однако этот круг для определения формы огибающей мало что дает, поскольку расположен вблизи двух первых кругов.

Для определения огибающей чрезвычайно важно знать положение точки С (см. рис. 8.2 и 8.3). Нормальное напряжение в этой точке представляет собой напряжение отрыва при всестороннем растяжении. До сих пор, однако, не существует метода для проведения соответствующего испытания. Вообще не удается осуществить испытание в условиях напряженного состояния, когда все три главных напряжения являются растягивающими (об этом подробнее см. в § 14.2). Поэтому пока нет возможности построить для материала предельный круг, расположенный правее предельного круга растяжения.

В силу указанных обстоятельств наиболее простым и естественным является решение аппроксимировать предельную огибающую касательной к кругам растяжения и сжатия (см. рис. 8.3). Понятно, что это не исключает возможности в дальнейшем, когда будут найдены новые методы испытания, уточнить форму огибающей и тем самым более полно отразить особенности поведения материала в условиях, близких к всестороннему растяжению.

Выведем выражение для полагая, что огибающая является прямой. На рис. 8.4 эта огибающая проведена по касательной к предельным кругам растяжения и сжатия (точки и

Построим круг Мора для некоторого напряженного состояния, заданного наибольшим и наименьшим главными напряжениями (см. рис. 8.4). Если все компоненты этого напряженного состояния увеличить в раз (где - коэффициент запаса), то круг станет предельным. Напряжения примут значения

Этот увеличенный (предельный) круг Мора касается предельной огибающей в точке С. Кроме того, согласно условию пропорционального увеличения компонент, он будет касаться продолжения луча ОА в точке В. Из точки С проводим горизонтальную прямую и составляем пропорпорцию:

Но отрезки и представляют собой разности радиусов рассматриваемых кругов. Поэтому

Преобразовывая пропорцию, получаем

или, если учесть выражения (8.3),

Для эквивалентного растяжения

По условию эквивалентности коэффициенты запаса в этих напряженных состояниях равны. Поэтому

где - отношение предела текучести при растяжении к пределу текучести при сжатии: . В частном случай, если материал имеет при растяжении и сжатии одинаковые пределы текучести, Тогда формула (8.4) переходит в полученную ранее формулу (8.1).

В настоящее время практические расчеты по допускаемым напряжениям в сложном напряженном состоянии ведут, как правило, на основе формулы (8.4). Вместе с тем, если материал обладает одинаковыми механическими характеристиками при растяжении и сжатии, то расчеты можно вести по

формулам гипотезы энергии формоизменения. Числовые результаты получаются вполне удовлетворительными.

Основное ограничение, которое накладывается на применение теории Мора, связано с недостаточной точностью определения предельной огибающей в области всестороннего растяжения. Это ограничение, однако, не столь существенно, поскольку напряженные состояния такого рода при решении практических задач встречаются редко. Недостаточно точно известен также вид предельной огибающей в области глубокого всестороннего сжатия. Здесь вследствие принятого упрощения также возможны погрешности. Наилучшие результаты выведенная расчетная формула дает для смешанных напряженных состояний, т. е. при Тогда предельный круг Мора располагается в интервале между предельными кругами растяжения и сжатия.

Подход Мора хорош тем, что позволяет в связи с особенностями напряженного состояния доходчиво разъяснить относительную условность деления материалов на пластичные и хрупкие.

Для одного и того же материала мы всегда можем построить две огибающие предельных кругов Мора. Первая огибающая характеризует переход от упругого состояния материала к пластическому. Поскольку образование пластических деформаций мы принимаем независимым от шарового тензора, эта огибающая представляет собой прямую, параллельную оси а (рис. 8.5). Вторая огибающая соответствует разрушению образца (кривая 2).

Для материала пластичного (в общепринятом понимании этого термина) прямая 1 в правой части диаграммы (см.

рис. 8.5, а) проходит ниже кривой 2. Это означает, что при обычном испытании образца на растяжение круг Мора 8, но мере увеличения растягивающего напряжения а, сначала пересечет прямую 1. В образце возникнут пластические деформации. Затем круг 3 коснется кривой 2. Образец разрушится.

Теперь рассмотрим взаимное расположение огибающих для хрупкого материала (см. рис. 8.5, б). Здесь прямая 1 в правой части диаграммы расположена выше кривой 2. При испытании образца на растяжение круг Мора 8, не касаясь прямой 1, соприкасается с кривой 2. Разрушение происходит без заметных остаточных деформаций, как и положено для хрупких материалов. Предел текучести при этом, естественно, не определяют. Но это еще не значит, что он не существует. Представим себе, что мы испытываем тот же образец на растяжение в условиях высокого гидростатического давления. Тогда круг 3, как единое целое, сместится в левую часть диаграммы и при увеличении растягивающей силы коснется сначала прямой 1, но не кривой 2. Мы получаем и пластические деформации для материала, считающегося хрупким, и находим даже его предел текучести.

Все признаки хрупкого разрушения можно получить и у пластичного материала, если его испытывать в условиях наложенного всестороннего растяжения.

Главное достоинство теории Мора заключается в принципе подхода к рассматриваемому вопросу. К сожалению, на это далеко не всегда обращают внимание, и часто теорию Мора ставят в один ряд с общеизвестными гипотезами, а то обстоятельство, что в частных случаях расчетная формула Мора совпадает с расчетной формулой гипотезы касательных напряжении, усиливает впечатление о равноценности этих подходов. Между тем феноменологический подход Мора, т.е. подход, основанный на логическом описании явления, является наиболее естественным и правильным. При обнаружении погрешностей или несоответствий этот подход сохраняет за нами возможность внести в теорию дополнительные уточнения. Так, если в дальнейшем удастся провести испытания образцов в области положительных можно будет аппроксимировать предельную огибающую Мора уже не прямой, а некоторой

кривой. В расчетную формулу в этом случае войдут не только характеристики материала на растяжение и сжатие, но и некоторые новые показатели, найденные в результате дополнительных испытаний.

Особое значение приобретает феноменологический подход в связи с широким применением в технике новых материалов. Такие материалы, как стеклопластики, стеклоткани и вообще материалы, имеющие волокнистую структуру, часто работают в условиях сложного напряженного состояния. При анализе подобных конструкций уже не приходится рассчитывать на апробированные теории. Надо создавать новую теорию, а это не всегда легко. Поэтому более целесообразным является феноменологический подход.

Сказанное о предпочтительности феноменологического подхода к вопросам предельного состояния не зачеркивает практического значения некоторых гипотез. Так, гипотеза максимальных касательных напряжений и гипотеза энергии формоизменения, прочно вошли в расчетную практику и обеспечивают большие удобства при решении конкретных задач, а гипотеза энергии формоизменения приобрела особое значение в связи с созданием и развитием теории пластичности (см. § 11.2).

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение теории предельных состояний.

Пример 8.1. Определить, какое из трех показанных на рис. 8.6 напряженных состояний является более опасным. Числовые значения напряжений заданы в Материал на растяжение и на сжатие работает одинаково

Подсчитываем эквивалентное напряжение по формуле (8.4) для случаев а, б и в.

Наиболее опасным является состояние а. Состояния a и b равкоопасны.

Пример 8.2. Прибор для исследования морских глубин опускают под воду на глубину Н (рис. 8.7). Вес прибора в воде равен Р. Плотность воды , а материала троса . Определить эквивалентные напряжения в верхнем и нижнем сечениях троса, если

В нижнем сечении имеет место трехосное напряженное состояние. Растягивающее напряжение создается весом прибора, сжимающее - давлением жидкости на глубине

В верхнем сечении имеет место только осевое растяжение, создаваемое весом прибора Р и весом троса в воде Таким образом, в верхнем сечении

Если плотность троса более чем в два раза превышает плотность воды, то наиболее опасным будет верхнее сечение троса. Это сечение необходимо также проверить на прочность в случае, когда прибор висит на тросе в воздухе перед опусканием в воду.

Пример 8.3. Через систему шестерен передается момент (рис. 8.8). В пределах вычерченного узла этот момент уравновешивается моментом на нижней шестерне, где передаточное число от

первого вала ко второму. Подобрать диаметр первого вала, если дано: см. Материал на растяжение и сжатие работает одинаково: . Требуется обеспечить двукратный запас прочности

Из условия равенства нулю суммы моментов относительно оси вала находим тангенциальную силу на шестерне (рис. 8.8, б): . Между шестернями возникает не только тангенциальная, но и радиальная сила Ее значение зависит от типа зацепления. Обычно принимают, что Определяя реакции опор, строим эпюры изгибающих и крутящих моментов (рис. 8.8, в).

Результирующий наибольший изгибающий момент равен, очевидно,

Наиболее опасной будет периферийная точка В в сечении, лежащая в плоскости момента (рис. 8.8, г).

В окрестности точки выделяем элемент, показанный на рис. 8.8, д. Напряжение определяется изгибающим моментом, крутящим:

Для полученного напряженного состояния находим главные напряжения. Поскольку одна из главных площадок известна, пользуемся

построением круга Мора (рис. 8.9), откуда получаем

Подставляя сюда значения изгибающего и крутящего моментов, получаем окончательно

По заданным числовым значениям величии из условия находим диаметр мм.

Рассмотренное в последнем примере напряженное состояние всегда встречается при расчете вала на совместные кручение и изгиб (или растяжение). Поэтому имеет смысл для плоского напряженного состояния , показанного на рис. 8.9, сразу выразить стэкв через две указанные компоненты с тем, чтобы избежать промежуточного определения главных напряжений.

Рассмотренные выше теории, основанные на проверке прочности для пластичных материалов по величине касательных напряжений, не учитывают различие свойств материала при работе на растяжения и сжатие, т.е. для случаев, когда . Такое различие свойств материалов учитывается теорией, получившей имя немецкого ученого Мора. Эта теория, являясь дополнением к третьей теории прочности, имеет довольно громоздкий вид. Это связано с тем, что при ее получении напряженное состояние описывалось графическим образом с помощью так называемых кругов Мора.

Рассмотрим другой способ, основанный на обобщении теории наибольших касательных напряжений. В соответствии с этой теорией условие прочности имеет вид (10.19). Перепишем это уравнение следующим образом:

Уравнение (10.24) в графическом смысле представляет собой прямую линию, где
;
; при; при
.

. (10.25)

Вид этой прямой приведен на рис.10.6,а.

Любая точка, принадлежащая плоскости
, например, точка А, отвечает определенному напряженному состоянию. Прямая (10.25) делит эту плоскость на три зоны: зона предельных напряженных состояний – точки этой зоны лежат на предельной прямой линии (10.25); зона безопасных напряженных состяний точки этой зоны лежат выше и левее предельной прямой (внутренняя область); зона опасных напряженных состояний – точки этой зоны лежат правее и ниже предельной прямой (внешняя область). В точках этой области гарантировать прочность нельзя.

Таким образом, приведенный на рис.10.6,а график дает возможность оценить с помощью третьей теории прочность элемента по местонахождению точки, определяющей данное напряженное состояние (
).

Используя аналогию, рассмотрим случай, когда
. В этом случае точки предельной прямой, принадлежащие осям координат определяют следующие напряженные состояния:
;
.

Вид предельной прямой для этого случая приведен на рис.10.6,б. Опишем эту прямую.

Уравнение прямой в отрезках имеет вид:

. (10.26)

Здесь: ;;;.

Введем коэффициент
, подставим в уравнение (10.26) и преобразуем его к виду:

. (10.27)

Уравнение (10.27) является уравнением предельной прямой. Левая часть этого уравнения представляет собой эквивалентные напряжения для рассматриваемого напряженного состояния. Вводя знак неравенства в уравнение предельной прямой (10.27), получаем теорию прочности Мора:

. (10.28)

Неравенство (10.28) описывает внутреннюю область безопасных напряжений (Рис.10.6,б).

Теория прочности Мора является обобщением теории наибольших касательных напряжений и будет ей идентичной при равенстве допускаемых напряжений
. В этом случае коэффициент
.

Пятая теория (теория прочности Мора) прочности хорошо подтверждается опытом для большинства строительных материалов (камень, дерево, пластмассы), т.е. для тех материалов, которые не укладываются в сформулированные ранее классические теории прочности.

Подводя итог рассмотрению классических теорий прочности, можно написать условие прочности при объемном напряженном состоянии в таком виде:

, (10.29)

где
эквивалентное (расчетное) напряжение;
допускаемое напряжение при простом растяжении и сжатии. Расчетное напряженное состояние
может быть истолковано как растягивающее напряжение при линейном напряженном состоянии, эквивалентном рассматриваемому сложному напряженному состоянию в отношении опасности для прочности материала.

Выбор теории прочности, а значит и формулы для
, таким образом, отвечает на вопрос: какой критерий прочности материала столь же надежен для рассматриваемого объемного напряженного состояния, как и для линейного?

Что касается практического применения теорий прочности, то здесь следует иметь ввиду, что любой материал в зависимости от условий работы и вида напряженного состояния может находиться и в хрупком и в пластичном состоянии. В связи с этим следует выделить те теории прочности, пригодные для проверки прочности материала при его пластическом состоянии, и те, которые следует применять для проверки прочности материалов в хрупком состоянии. Эксперименты показывают, что для пластичного состояния матерала наиболее достоверной является энергетическая теория прочности. Незначительно расходится с опытами для пластичных материалов теория наибольших касательных напряжений.

Что касается хрупкого состояния материалов, то для оценки прочности в этом случае иногда используется вторая теория прочности теория наибольших линейных деформаций; имеются опыты, которые показывают, что в ряде случаев подтверждается для такого состояния материала и теория наибольших нормальных напряжений; ею пользуются на практике для проверки прочности таких материалов как камень, чугун и т.д.

Кроме классичесих теорий прочности, рассмотренных в данной теме, существует еще несколько десятков так называемых “новых”теорий, предлагающих новые подходы к оценке прочности конструкционных материалов. В рамках настоящего пособия эти теории не приводятся. Тех, кого эта проблема интересует, может обратиться к специальной литературе учебного или справочного характера, часть из которой приводится в конце пособия.

Все приведенные выше теории прочности были записаны через главные напряжения. В практике мы часто имеем дело не с главными напряжениями. В связи с этим при практических расчетах удобно иметь формулы для эквивалентных напряжений для различных теорий прочности, выраженные через нормальные и касательные напряжения, действующие в произвольных площадках.

Рассмотрим несколько частных случаев плоского напряженного состояния и запишем для этих случаев условия прочности в соответствии с различными теориями.

Одним из таких частных видов напряженного состояния приведен на рис.10.7. Этот вид напряженного состояния часто встречается в расчетной практике при плоском поперечном изгибе, некоторых видах сложного сопротивления и т.д.

При записи эквивалентных напряжений для приведенного на рис.10.7 частного вида напряженного состояния примем во внимание, что

. (10.30)

Подставляя (10.30) в выражение (10.17), условие прочности в соответствии с первой теорией прочности получим в виде:

. (10.31)

Для второй теории выражение для условия прочности после подстановки (10.30) в (10.18) принимает вид:

Для третьей теории условие прочности после подстановки (10.30) в (10.19) запишется так:

. (10.33)

По четвертой теории условие прочности после подстаноки (10.30) в (10.23) и некоторых преобразований будет иметь вид:

. (10.34)

Как уже отмечалось выше, для оценки прочности пластичных материалов используют как теорию наибольших касательных напряжений, так и энергетическую теорию прочности. Выясним на примере рассматриваемого выше частного случая напряженного состояния, каково расхождение между этими теориями прочности. Для этого, используя выражения (10.33) и (10.34), вычислим значения эквивалентных напряжений при различных исходных значениях и.

Пусть
. Тогда
. При

;
. Сравнивая эти значения, приходим к выводу, что максимальное расхождение между третьей и четвертой теориями составляет 15%. В практических задачах при небольших значениях касательных напряжений это расхождение существенно меньше. Поэтому используют обе теории для оценки прочности материалов в пластическом состоянии.

Пример 10.1. Исследовать напряженное состяние в стенке стального сварного двутавра в месте перехода от полки к стенке (в точке А) и выполнить проверку прочности балки, используя четвертую теорию прочности. В рассматриваемом сечении балки изгибающий момент равен
кНм, поперечная сила
кН. Поперечное сечение балки приведено на рис.10.8а.

1. Найдем момент инерции двутавра относительной оси в (см 4).

см 4 .

2. Определяем нормальные напряжения в точке А:

3. Определяем касательные напряжения в точке А поперчного сечения:

4. Вычисляем эквивалентное напряжение в точке А, используя четвертую теорию прочности. Напряженное состояние в точке А – плоское (Рис.10.8,б). Для частного случая напряженного состояния, приведенного на рис.10.8,б эквивалентное напряжение по четвертой теории равно:

5. Сравниваем расчетное напряжение с допускаемым для стали
МПа, используя условие прочности (10.34). Расчетное напряжение
МПа оказалось меньше допускаемого. Следовательно, напряженное состояние в точке А поперечного сечения балки является безопасным.

Пример 10.2. Проверить прочность чугунной детали (работающей на сложное напряженное состояние), если главные напряжения в опасной точке сечения:
МПа;
;
МПа. Коэффициент Пуассона
.

Допускаемое напряжение на растяжение
МПа, допускаемое напряжение на сжатие
МПа.

1. Для проверки прочности чугуна на растяжение следует применить теорию наибольших линейных деформаций:

Полученное расчетное напряжение блитзко к допускаемому на растяжение.

2. Если бы мы воспользовались для расчета теорией наибольших касательных напряжений (неприменимой для хрупкого состояния материала), то получили бы ошибочные результаты:

В этом случае расчетное напряжение оказывается близким к разрушающему напряжению.