Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

на тему: Доказательство как средство математического мышления. Представления о доказательности и эволюция понятия доказательства

Введение

1.2 Виды доказательств

Заключение

Список литературы

Введение

Большую часть знаний об окружающей действительности человек получает с помощью рассуждений. Выводы в них будут истинными, если они являются результатами правильных рассуждений, а такими считают рассуждения, построенные по правилам логики. Рассуждения лежат в основе доказательства. математический логика аксиоматический

Понятие доказательства является довольно-таки распространённым во многих областях знания, например, в юриспруденции, филологии, истории, но наиболее тесно понятие доказательства связано с математикой. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

В 1939 году Николя Бурбаки свой трактат «Начала математики» открыл такими словами: «Со времён греков говорить «математика»- значит говорить «доказательство». Таким образом, эти два слова являются почти синонимами.

Отличием математического доказательства от доказательств в других областях знания является то, что в математике порог убедительности значительно выше. Математическое доказательство, в отличие от доказательств в других областях знаний, признаётся эталоном бесспорности. Убедительность математических доказательств поддерживается отчётливостью, недвусмысленностью математических утверждений. Учитывая то, что доказательство занимает такое важное место в математике, данная тема является весьма важной, интересной и актуальной.

Цель курсовой работы: рассмотреть понятие доказательства и историю его развития.

1. Теоретические сведения, связанные с понятием доказательства

1.1 Основные понятия математической логики, связанные с понятием доказательства

Для того чтобы говорить об основных понятиях математической логики, следует дать определение данному термину.

Подобно тому, как умение говорить существовало до возникновения науки грамматики, так и искусство правильно мыслить существовало задолго до появления науки логики.

Математическая логика -- раздел математики, посвящённый изучению способов математических доказательств, математических утверждений, вопросов оснований математики. Математическая логика возникла, в сущности, на стыке двух столь разных наук, как философия, или точнее - философская логика, и математика. И, тем не менее, взаимосвязь новой логики с философией не только не оборвалась, но, напротив, парадоксальным образом даже окрепла. Обращение к философии является необходимым условием прояснения логикой своих оснований. С другой стороны, использование в философии понятий, методов и аппарата современной логики несомненно способствует более ясному пониманию самих философских понятий, принципов и проблем.

Основной вопрос математической логики - насколько верно рассуждение, выведенное из сделанных посылок.

Основной задачей логики является отделение правильных способов рассуждения (выводов, умозаключений) от неправильных.

Слово «логика» происходит от греческого «логос», что, с одной стороны, означает «слово» или «речь», а с другой - то, что выражается в речи, т.е. мышление. Появление математической логики уточнило и по-новому осветило понятия и методы традиционной формальной логики, существенно расширило её возможности и сферу применимости. Сегодня математическая логика используется в биологии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике.

Логика является именем особой науки о мышлении, называемой также формальной логикой.

Трудно найти более многогранное и сложное явление, чем человеческое мышление. Оно изучается многими науками, и логика - одна из них. Ее предмет - логические законы и логические операции мышления. Принципы, устанавливаемые логикой, необходимы, как и все научные законы. Мы можем не осознавать их, но вынуждены следовать им.

Формальная логика - наука о законах и операциях правильного мышления.

Теперь раскроем основные понятия математической логики, связанные с понятием доказательства.

Определение доказательства включает два центральных понятия логики: понятие истины и понятие логического следования. Оба эти понятия не являются в достаточной мере ясным и, значит, определяемое через них понятие доказательства также не может быть отнесено к ясным.

Понимание того, что такое математическая истина, вызывает серьёзные затруднения. Ведь математические объекты, в отличие от объектов физических, не присутствуют в природе, они существуют лишь в умах людей. Поэтому говорить, что истина - это то, что соответствует реальному положению вещей, можно, в применении к математическим истинам лишь с натяжкой.

Не существует, далее, единого понятия логического следования. Логических систем, претендующих на определение этого понятия, в принципе бесконечно много, например: «Логическое следование - это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями». Но ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики и от того, что принято называть «парадоксами логического следования».

Умозаключение - способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это высказывания, содержащие исходные знания.

Заключение - высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного .

Умозаключения бывают разными. В случае, когда заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности, то такое заключение является дедуктивным.

Кроме дедуктивного умозаключения в математике существует понятие неполной индукции.

Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определённым свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Выводы, полученные с помощью неполной индукции, носят характер предположения, поэтому они нуждаются в доказательстве, либо опровержении.

Аналогия - умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта .

Вывод по аналогии, также носит характер гипотезы и нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Высказывания и высказывательные формы.

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания.

Но не всякое предложение является высказыванием. К высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла. Не являются высказываниями и предложения, содержащие в себе оценку, например «Математика - скучный предмет», поскольку нет единого мнения о том, истинно данное предложение или ложно.

Высказывательной формой называется предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений. Например, предложение «Число делится на 2» не содержит переменной в явном виде, но тем не менее является высказывательной формой. Оно становится высказыванием, если на место слова «число» подставлять целые числа. Иначе это предложение можно записать так « Число х делится на 2».

Высказывания делятся на элементарные и составные.

Составные высказывания получаются из элементарных при помощи союзов и словосочетаний.

Поиски большей убедительности математических доказательств привели к появлению так называемого аксиоматического метода. Вкратце он состоит в следующем. Выбираются основные положения рассматриваемой математической теории, которые принимаются без доказательств, а из них уже все остальные положения рассматриваемой математической теории, которые принимаются без доказательств, а из них уже все остальные положения выводят чисто логическими рассуждениями. Эти основные положения получили название аксиом, а те, которые из них выводятся, - теорем. Ясно, что всякая аксиома также выводится из списка аксиом, поэтому удобно аксиомы рассматривать как частный случай теорем (в противном случае слову «теорема» надо было бы дать такое длинное определение: теорема - это то, что выводится из списка аксиом, однако в этот список не входит. В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные, исходные свойства - неформальный аксиоматический метод.

Формальный аксиоматический метод отличается от неформального тем, что в нём совершенно чётко перечисляются не только исходные понятия, но и дозволенные способы рассуждения. Точно указываются те логически переходы, которые разрешается делать. Более того: и аксиомы, и разрешённые логические переходы должны быть оформлены таким образом, чтобы первые могли использоваться, а вторые делаться чисто механически. Для этого нужно уметь оперировать с участвующими в доказательствах утверждениями, опираясь только на их внешний вид, а не на содержание.

Простейшие правила вывода. С их помощью устанавливается зависимость логической структуры заключения от логической структуры посылок.

Правило заключения (Modus ponens) - первый не подлежащий доказательству силлогизм стоической логики: если A и A>B -- выводимые формулы, то B также выводима. Форма записи: , где A, B -- любые формулы.

Правило отрицания Modus tollens -- второй не подлежащий доказательству силлогизм. «Если есть первое, то есть и второе, но второго нет, следовательно, нет и первого» .

Форма записи:

Предикат -- это функция с множеством значений (или {ложь, истина}), определённая на множестве. Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный». Согласно Авиценне предикат - лишь часть содержания субъекта.

С понятием предиката теснейшим образом связано понятие квантора.

Высказывание, заключающееся в том, что предикат P(x) принимает значение только истина на множестве М, называется квантором общности.

Высказывание, заключающееся в том, что существует хотя бы один элемент х (из области определения М), на котором предикат Р (х) принимает значение «истина», называется квантором существования и обозначается

Выражения вида: хотя бы n, по меньшей мере n, n и только n, называют численными кванторами. Эти кванторы можно выразить через кванторы общности и существования и логические операции над предикатами.

Правило контрапозиции утверждает, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия влечёт отрицание этой посылки.

Правило силлогизма или цепного заключения: если формулы P

окажутся выводимыми, то применив правило заключения к последней формуле, мы найдём, что формула также выводима .

Существуют также правила: введения дизъюнкции: ;

удаления дизъюнкции: ;

введения конъюнкции: ;

удаления конъюнкции: ;

перестановки посылок: .

Зная основные правила вывода, можем поговорить о видах доказательств.

1.2 Виды доказательств

Доказать какое-либо утверждение - это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство - это цепочка умозаключений, причём заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой из последующих умозаключений.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство умозаключения о том, что 6<8.

В доказательстве различаются тезис - утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) - те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие доказательства всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования утверждений в ходе доказательства. Задача доказательства - исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса.

Следует заметить, что математическое доказательство - это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определённом порядке. Самый естественный способ доказать, что объект с заданными свойствами существует, - это его указать, назвать, построить (и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами). Чтобы доказать, например, что уравнение имеет решение, достаточно указать какое-то его решение. Такие доказательства существования чего-нибудь называются прямыми или конструктивными. В них, основываясь на некотором истинном предложении и с учётом условия теоремы, строится цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводит к истинному заключению. Но бывают и косвенные доказательства, когда обоснование того факта, что искомый объект существует, происходит без прямого указания такого объекта. При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того, чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

Примером косвенного доказательства является метод от противного.

Данный метод основан на законе контрапозиции, то есть вместо прямой доказывается теорема противоположная обратной: .

Для доказательства предполагаем, что верно утверждение противоположное заключению теоремы. Приходим к тому, что это утверждение противоречит условию, то есть верно. Приходим к противоречию с условием.

Таким образом, косвенное доказательство проходит следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти среди них хотя бы одно ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.

Так же разновидностью данного метода является сведение к абсурду - Логический закон противоречия говорит о недопустимости одновременного утверждения и отрицания. Абсурдное высказывание представляет собой прямое нарушение этого закона.

Принцип Дирихле.

Данный приём назван по имени знаменитого немецкого математика XIX века

Петера Густава Лежёна Дирихле. Вот общая формулировка этого принципа:

Если имеется n ящиков, в которых находятся в общей сложности, по меньшей мере, n+1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат, по меньшей мере, два предмета.

Доказательство с помощью силлогизма.

Пусть есть теорема P, можно подобрать такое утверждение R, что возможно доказать две следующих теоремы:

Тогда по правила силлогизма верна и теорема.

Принцип полной дизъюнкции.

Пусть справедливы теоремы: , …, и из посылок

, …, хотя бы одна выполняется, следствия, …, попарно взаимоисключают друг друга, тогда все обратные теоремы верны.

Метод индукции.

Индукция - это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях. В полной индукции заключение с необходимостью, а не с некоторой вероятностью вытекает из посылок. Эта «индукция» является, таким образом, разновидностью дедуктивного умозаключения. Множество А состоит из элементов, …, . имеет признак В, имеет признак В, значит, все элементы от до имеют признак В, следовательно, все элементы множества А имеют признак В.

Методы доказательства теорем в логике предиката.

Наиболее часто используемые приёмы логических рассуждений были разработаны Аристотелем и называются Аристотилевы силлогизмы.

1. Все М являются К, все К являются N, следовательно, все М являются N.

2. Никакое P не является M, некоторое S является M,значит, некоторое S не является P.

Таким образом, нами были рассмотрены основные понятия математической логики, относящиеся к определению доказательства и виды доказательств. Как мы можем видеть, понятие доказательства прошло длительный путь своего развития. Им занимались: Аристотель - основатель логики как науки (разработал Аристотилевы силлогизмы), в III в до н.э. Евклид пытался разработать теорему аксиом, в 1939 году Николя Бурбаки (на самом деле такого математика не существовало, это коллективный псевдоним группы математиков) в своём трактате, подобно грекам, практически отождествил понятия « математика» и «доказательство». Поэтому далее логично будет подробнее поговорить об истории развития данного понятия.

2. Понятие доказательства в математике

2.1 История развития понятия доказательства

Историю развития понятия доказательства нельзя проследить без развития логики как науки.

Логика - одна из самых старых наук. Ее богатая событиями история началась еще в Древней Греции и насчитывает две с половиной тысячи лет. В конце прошлого - начале нынешнего века в логике произошла научная революция, в результате которой в корне изменились стиль рассуждений, методы, и наука как бы обрела второе дыхание. Теперь логика - одна из наиболее динамичных наук, образец строгости и точности даже для математических теорий.

Говорить о логике и легко, и одновременно сложно. Легко потому, что ее законы лежат в основе нашего мышления. Интуитивно они известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно. В этом смысле логика общеизвестна.

История логики охватывает около двух с половиной тысячелетий. «Старше» формальной логики, пожалуй, только философия и математика.

В длинной и богатой событиями истории развития логики отчетливо выделяются два основных этапа. Первый - от древнегреческой логики до возникновения во второй половине прошлого века современной логики. Второй - с этого времени до наших дней.

На первом этапе, обычно называемом традиционной логикой, формальная логика развивалась очень медленно. Обсуждавшиеся в ней проблемы мало чем отличались от проблем, поставленных еще Аристотелем. Это дало повод немецкому философу И.Канту в свое время придти к выводу, что формальная логика является завершенной наукой, не продвинувшейся со времени Аристотеля ни на один шаг. Кант не заметил, что еще с XVII в. стали назревать предпосылки для научной революции в логике. Именно в это время получила ясное выражение идея представить доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике.

Данная идея связана главным образом с именем немецкого философа и математика Г.Лейбница. По Лейбницу, вычисление суммы или разности чисел осуществляется на основе простых правил, принимающих во внимание только форму чисел, а не их смысл. Результат вычисления однозначно предопределяется этими, не допускающими разночтения правилами, и его нельзя оспорить. Лейбниц мечтал о времени, когда умозаключение будет преобразовано в вычисление. Идеи Лейбница не оказали, однако, заметного влияния на его современников. Энергичное развитие логики началось позже, в XIX в.

Немецкий математик и логик Г.Фреге в своих работах стал применять формальную логику для исследования оснований математики. Фреге был убежден, что «арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никакого обоснования». Пытаясь свести математику к логике, он реконструировал последнюю. Логическая теория Фреге - провозвестник всех нынешних теорий правильного рассуждения.

Среди российских учёных вклад в развитие логики внесли: П.С.Порецкий, Н.А.Васильев, А.Н.Колмогоров, В.А.Гливенко, А.А. Макаров и другие.

Великий французский математик Анри Пуанкаре писал: «Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости».

Нельзя не согласиться с учёным, ведь действительно понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательства основано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено. В странах Древнего Востока (Вавилоне, Древнем Египте, Древнем Китае) решение математических задач приводилось, как правило, без обоснования и было догматичным. Первые математические доказательства, в современном их понимании, приписывают древнегреческим мыслителям Фалесу и Пифагору. Считается, что именно в Древней Греции в VII - VI веках до н.э. возник обычай сопровождать математический факт его обоснованием. Появилась потребность не просто сообщать данный факт, но и убеждать слушателя в его истинности, то есть проводить доказательство. По-видимому, сама идея необходимости убеждать слушателей появилась в дискуссиях, в народных собраниях и в судах. Таким образом, логическое доказательство становится основным методом установления истины. В это время были построены первые математические теории и математические модели мира, которые имели вполне современный вид, то есть строились из конечного числа посылок с помощью логических умозаключений.

Древнегреческие доказательства были, можно сказать, безупречны с современной точки зрения. Положение вещей стало меняться с XVII века, когда в математику вошли переменные величины, а вместе с ними - представление о предельном переходе. С сегодняшней точки зрения эти понятия и представления не были достаточно чёткими, а потому и относящиеся к ним доказательства XVII и XVIII веков кажутся теперь нетрогими. Замечательно, однако, что эти нестрогие доказательства приводили к строгим результатам, прочно вошедшим в арсенал современной математики. Примечательно то, что доказательства, содержащиеся в трудах Евклида и Аристотеля не потеряли своей убедительности за прошедшие тысячи лет.

2.2 Понятие математического мышления, доказательство как средство математического мышления

Мышление в общем смысле - есть процесс обобщённого и опосредованного отражения действительности в её существенных связях и отношениях.

Выделяют три вида мышления:

Наглядно-действенное;

Наглядно-образное;

Словесно - логическое, к данному типу как раз и относится математическое мышление.

К формам мышления относятся:

Понятие - форма мышления, отражающая существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений, выраженная словом или группой слов.

Суждение - форма мышления, отражающая связи между предметами и явлениями; утверждение или отрицание чего-либо.

Умозаключение - форма мышления, при которой на основе нескольких суждений делается определённый вывод.

Аналогия - форма мышления, в которой на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

К мыслительным операциям относят:

Анализ - мыслительная операция расчленения сложного объекта на составляющие его части или характеристики.

Синтез - мыслительная операция, позволяющая в едином аналитико- синтетическом процессе мышления переходить от частей к целому.

Сравнение - мыслительная операция, основанная на установлении сходства и различия между объектами.

Абстрагирование - мыслительная операция, основанная на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечение от других, несущественных, свойств.

Обобщение - мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Конкретизация - процесс восстановления в мышлении объективной целостности, существующей через связи единичных вещей.

К сожалению, единого мнения по вопросу определения понятия математического мышления в психолого-педагогической и методической литературе нет.

При его характеристике возникают сложные вопросы о взаимосвязи этого понятия с понятиями мышление вообще и конкретные виды мышления.

Одни исследователи считают, что математического мышления как такового, обладающего своими специфическими формами мыслительных действий, нет; своеобразие такого мышления связано, по их мнению, лишь с характером собственно математического материала. Другими словами, представители первого подхода отрицают специфику математического мышления (Л.С. Трегуб, Г. Фрейдепталь и др.).

Так, Л.С. Трегуб полагает, что демонстрация единых принципов человеческого познания означает, что нет особых методов математического мышления, своеобразного по методу и по способу своего функционирования. З.И. Слепкань считает неправомерными попытки введения этого понятия с выделением в нем своих особенностей и компонентов и его отождествление с логическим мышлением, а Г. Фрейдепталь пишет, что пока невозможно убедительно раскрыть суть математического мышления.

Вот что о данном термине говорил Г. Вейль: «Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире -- в физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, и, во-вторых, ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе».

Второй подход представлен исследованиями Ж. Пиаже и его сторонников. Согласно этим ученым, под математическим мышлением понимается собственно логико-математическое мышление, имеющее так называемые "абстракции действия".

Л. К. Максимов считает, что хотя методы математического мышления сейчас широко применяются в других науках и имеют статус общих методов познания, все-таки оно имеет свои особенности, которые отличают его от мышления в других научных областях. Специфику математического мышления следует искать не в его методах, а в его объектах, - так как первые порождаются вторыми, а также в своеобразии его предметного содержания.

Также можно сказать, что под математическим мышлением понимается, прежде всего, форма, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики.

Математическому мышлению свойственны те качества, которые присущи научному мышлению, т.е. гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность.

Можно выделить следующие признаки математического мышления:

Доминирование логической схемы рассуждения;

Лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;

Четкая расчлененность хода рассуждения;

Точность символики.

Основным определяющим признаком культуры математического мышления считается полноценность аргументации, которая предполагает:

Освоение идеи доказательства;

Умение пользоваться определениями понятий (осознавать их логическую структуру, уметь выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий);

Умение работать с теоремами (понимать их логическое строение, сущность прямой и обратной теорем и т.д.);

Владение общими логическими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией;

Владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы.

Совершенно очевидно, что логика, а, следовательно, и доказательство, теснейшим образом связаны с понятием математического мышления. Вспомним высказывание Джона Локка: «Логика - анатомия мышления». Являясь основой мышления, логика посредством доказательств, рассуждений, умозаключений способствует развитию математического мышления.

2.3 Опровержение и ошибки в доказательстве

Важно уметь не только доказать правильное положение, но и опровергнуть ошибочное. Операция опровержения столь же распространенна, как и операция доказательства, и является как бы зеркальным отображением последней.

Опровержение - это рассуждение, направленное против выдвинутого тезиса и имеющее целью установление его ложности или недоказанности.

Наиболее распространенный прием опровержения - выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что если даже одно-единственное логическое следствие некоторого положения ложно, то ложным является и само положение.

Другой прием установления ложности тезиса - доказательство истинности его отрицания. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верным является отрицание тезиса, вопрос об истинности самого тезиса автоматически отпадает.

Если тезис выдвигается с каким-то обоснованием, операция опровержения может быть направлена также против обоснования. В этом случае нужно показать, что приводимые аргументы ложны или несостоятельны.

Ошибочность аргументов выявляется так же, как и ошибочность тезиса: выведением из них следствий, оказывающихся в итоге несостоятельными, или доказательством утверждений, противоречащих аргументам.

Следует иметь в виду, что дискредитация доводов, приводимых в поддержку какого-то положения, не означает еще неправильности самого этого положения. Утверждение, являющееся по сути дела верным, может отстаиваться с помощью случайных или слабых аргументов. Выявив это, мы показываем именно ненадежность предполагаемого обоснования, а не ошибочность опирающегося на него утверждения.

Опровержение может быть направлено, наконец, на саму связь аргументов и тезиса. В этом случае надо показать, что тезис не вытекает из доводов, приведенных в его подтверждение. Если между аргументами и тезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью приводимых аргументов. Из этого не вытекает, конечно, ни то, что аргументы ошибочны, ни то, что тезис ложен.

Логическая культура предполагает не только умение рассуждать последовательно и доказательно, с соблюдением требований логики, но и способность обнаруживать в рассуждении логические ошибки и подвергать их квалифицированному анализу.

Такие ошибки многообразны по сути. Рассмотрим наиболее характерные и часто встречающиеся.

Доказательство представляет собой логически необходимую связь аргументов и выводимого из них тезиса. Ошибки в доказательстве подразделяются на относящиеся к аргументам, к тезису и их связи.

Ошибки в отношении аргументов. Наиболее частой является содержательная ошибка - попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов (посылок). Законы логики гарантируют истинное заключение, только когда все принимаемые посылки верны. Если хотя бы одна из них ошибочна, уверенности в истинности выводимого тезиса нет, а значит, нет и доказательства. Неверное положение делает несостоятельным всякое доказательство, в котором оно используется. Употребление ложных, недоказанных или непроверенных аргументов нередко сопровождается оборотами: «как известно», «давно установлено», «совершенно очевидно», «никто не станет отрицать» и т.п.

Довольно распространенной ошибкой является круг в доказательстве: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за предпосылку доказательства принимается то, что еще нужно доказать, доказываемая мысль выводится из самой себя и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу. Эту ошибку иногда так и называют: порочный круг.

Избежать ошибок, связанных с аргументами доказательства, помогает выполнение следующих трех простых требований:

* в качестве аргументов следует использовать только истинные утверждения;

* их истинность должна устанавливаться независимо от тезиса;

* в своей совокупности аргументы должны быть достаточными для того, чтобы из них с логической необходимостью вытекал тезис.

Последнее требование показывает, что принцип «Чем больше аргументов, тем лучше» не всегда оправдывает себя. Дело не в количестве доводов, а в их силе и их связи с отстаиваемым тезисом. Если последний вытекает из одного-единственного истинного положения, то оно вполне достаточно для его доказательства. Как говорит латинская пословица: «Доказательства ценятся по качеству, а не по количеству».

Характерной ошибкой является подмена тезиса, замещение его в ходе доказательства каким-то другим, чаще всего близким ему по форме или содержанию положением. Эта ошибка ведет к тому, что явно высказанный тезис остается без доказательства, но вместе с тем создается впечатление, будто он надежно обоснован.

Потерянная логическая связь. Если хотя бы одна из посылок доказательства неверна, оно теряет силу, в сущности, его нет. Оно может не состояться и по причине формальной ошибки. Она имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон и заключение не вытекает из принятых посылок.

Лучшее средство предупреждения формальных ошибок - изучение теории умозаключения, знание законов логики и совершенствование практических навыков их применения.

2.4 Примеры различных видов доказательств

В данном пункте приведём примеры доказательств, описанных в пункте 1.2 нашей работы.

1. Метод от противного.

Данный пример встречается в «Началах» Евклида и в современных школьных учебниках. Пусть дан треугольник и два его неравных угла. Требуется доказать утверждение А: против большего угла лежит большая сторона. Делаем противоположное предположение В: сторона, лежащая в треугольнике против большего угла, меньше или ровно стороне лежащей против меньшего угла. Предположение В вступает в противоречие с ранее доказанной теоремой о том, что в любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а если стороны неравны, то против большей стороны лежит больший угол. Значит, предположение В неверно, а верно утверждение А. Интересно, что прямое (то есть не «от противного») доказательство теоремы А оказывается намного более сложным.

2.Сведение к абсурду. Представим себе, что на некотором острове живут только рыцари и лжецы. Причем лжецы всегда только лгут, а рыцари всегда говорят только правду. Приехавший на остров человек встречает двух местных жителей и спрашивает, кто они такие. На что один из них отвечает: «По крайней мере, один из нас лжец». Необходимо узнать, кем является отвечавший.

Предположим, что он является лжецом. Суждение «Ответивший - лжец» обозначим А. Но тогда он сказал неправду, следовательно, ни один из них не является лжецом, и оба они - рыцари. Мы получили противоречие: отвечавший в одно и то же время рыцарь (В) и не рыцарь (). Значит, наше предположение неверно, и тот, кто отвечал, на самом деле является не лжецом, а рыцарем.

3. Принцип Дирихле.

В самолёте летит 380 пассажиров. Докажите, что какие-то два из них отмечают свой день рождения в один и тот же день года. Рассуждаем так. Всего имеется 366 (включая 29 февраля) возможных дат для празднования дня рождения. А пассажиров больше; значит, не может быть, чтобы у всех у них дни рождения приходились на различные даты, и непременно случится так, что какая-то дата является общей по крайней мере для двух человек. Ясно, что этот эффект будет обязательно наблюдаться, начиная с 367 пассажиров. А вот при 366 пассажирах не исключено, что даты (числа и месяцы) их дней рождения будут для всех различны, хотя это и чрезвычайно маловероятно. (Кстати, теория вероятностей учит, что если случайно выбранная группа людей состоит более чем из 22 человек, то более вероятно, что у кого-нибудь из них будет общий день рождения, нежели что у всех у них дни рождения приходятся на разные дни года.)

Как известно, в общем виде данный принцип можно записать так: если имеется n ящиков, в которых находятся в общей сложности, по меньшей мере, n+1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат, по меньшей мере, два предмета. Чтобы увидеть как приведённая формулировка используется в данном примере, нужно мысленно представить себе 366 ящиков и написать на каждом одну из 366 дат года, а затем, мысленно же, разместить по ящикам 380 пассажиров, помещая каждого пассажира в ящик с его датой рождения. Тогда в каком-то из ящиков окажется более одного пассажира, и у этих пассажиров будет общий день рождения.

4.Доказательство с помощью силлогизма.

Если треугольник равносторонний, то все его угла равны. Если все углы равны, то каждый из них равен 60, значит, если треугольник равносторонний, то все его углы равны 60.

5. Принцип полной дизъюнкции.

В школьном курсе геометрии доказываются следующие теоремы: «Квадрат длины стороны, лежащей против острого угла треугольника, меньше суммы квадратов длин двух других сторон этого треугольника"; "Квадрат длины стороны, лежащей против прямого угла треугольника, равен сумме квадратов длин двух других сторон этого треугольника" (теорема Пифагора); "Квадрат длины стороны, лежащей против тупого угла треугольника, больше суммы квадратов длин двух других сторон этого треугольника". Проанализируем данные утверждения в аспекте применимости к ним данного принципа. Введем следующие обозначения для высказываний:

"В треугольнике угол острый";

"В треугольнике угол прямой";

"В треугольнике угол тупой";

где -- длины сторон треугольника; -- его угол, лежащий против стороны длины а. Тогда сформулированные три теоремы можно записать символически:

Ясно, что из трех посылок этих утверждений, по меньшей мере, одна истинна (угол в треугольнике непременно должен быть либо острым, либо прямым, либо тупым), а следствия попарно исключают друг друга. Поэтому заключаем, что истинны и все три обратные импликации:

Например, теорема, обратная теореме Пифагора, читается так: "Если в треугольнике квадрат длины некоторой стороны равен сумме квадратов длин двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный, причем прямым углом является угол, лежащий против первой стороны".

6. Метод индукции.

При n = 1 равенство примет вид 1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть

истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

7. Методы доказательства теорем в логике предиката.

А) Все ромбы являются параллелограммами, у всех параллелограммов противолежащие углы равны, значит, у всех ромбов противолежащие углы раны.

Б) Никакой квадрат не является окружностью. Фигура F является квадратом, следовательно, фигура F не является окружностью.

Заключение

Мы пришли к выводу о том, что тенденция включать математическую логику в число математических дисциплин и видеть в ней только теорию математического доказательства является ошибочной. На самом деле задачи логики гораздо шире. Она исследует основы всякого правильного рассуждения, а не только строгого математического доказательства, и ее интересует связь между посылками и следствиями в любых областях рассуждения и познания.

Нами были рассмотрены основные виды математических доказательств, их примеры. Была изучена эволюция понятия доказательства.

Также мы выяснили, что в доказательствах могут существовать ошибки, и, следовательно, некоторые доказательства можно опровергнуть.

Подводя итог работы, можем сказать, что такие понятия как логика, доказательство являются достаточно сложными, объёмными. Они имеют связь с философией. Вместе с тем, они составляют основу математического мышления, как части мышления вообще. Нельзя не согласиться с тем, что данные понятия являются не просто научными терминами, так как мы сталкиваемся с ними не только в своей интеллектуальной деятельности, но и в повседневной жизни: рассуждаем; приходим к каким-либо выводам; споря с кем-то, аргументируем свою точку зрения, то есть, приводим доказательства.

Список литературы

1. Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. И нем. / Под ред. Б.В. Бирюкова и А. Н. Паршина. - М.: Наука,1989. - 400с.

2. Ивин А.А. Логика / А.А. Ивин. - М.: Высш. школа,2004. - 304с.

3.Ивин А. А. Словарь по логике / А.А. Ивин, А.Л. Никифоров. - М.: ВЛАДОС, 1997. - 384 с.

4. Кондаков Н.И. Введение в логику/ Н.И. Кондаков - М.: Наука, 1967. - 467с.

5. Максимов Л.К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения / Л.К. Максимов // Вопросы психологии. - 2002. -№ 2.

6. Марков А.А. Элементы математической логики / А.А. Марков. - Изд-во МГУ,1984. - 80с.

7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику / Э. Мендельсон. - М.: Наука, 1971. - 320с.ил.

8. Никольская И.Л. Математическая логика: Учебник / И.Л. Никольская. -М.: Высш. школа,1981. -127с.,ил.

9.Новиков П.С. Элементы математической логики / П.С. Новиков. -М.: Наука, 1973. - 400с.,ил.

10. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / Л.П. Стойлова. - М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 424с.

11.Стяжкин Н. И. Формирование математической логики / Н.И. Стяжкин. -М.: Наука,1967. - 508с.

12. Попов П. С. История логики нового времени / П.С. Попов. -М.: Изд-во МГУ, 1960. -265с.

13.Успенский В.А. Простейшие примеры математических доказательств / В.А. Успенский.- М.: Изд-во МЦНМО, 2009. -56с.

14. Шень А. Математическая индукция / А. Шень. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004. - 36 с.

15. История математики В 3 т. Т. 1. С древнейших времён до нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - 353с.

16. История математики В 3 т. Т. 2. С древнейших времён до нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - 303с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Греческая математика. Средние века и Возрождение. Начало современной математики. Современная математика. В основе математики лежит не логика, а здравая интуиция. Проблемы оснований математики являются философскими.

реферат , добавлен 06.09.2006


Математическая логика (бессмысленная логика), логика "здравого смысла" и современная логика. Математические суждения и умозаключения, их направления. Математическая логика и "Здравый смысл" в XXI веке. Неестественная логика в основаниях математики.

реферат , добавлен 21.12.2008


Графическая интерпретация множеств и операций над ними. Математическая логика, булева алгебра. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Равносильные формулы и их доказательство. Полнота системы булевых функций. Логика предикатов, теория графов.

лекция , добавлен 01.12.2009


Значение математики в нашей жизни. История возникновения счета. Развитие методов вычислительной математики в настоящее время. Использование математики в других науках, роль математического моделирования. Состояние математического образования в России.

статья , добавлен 05.01.2010


Геометрия Евклида как первая естественнонаучная теория. Структура современной математики. Основные черты математического мышления. Аксиоматический метод. Принципы аксиоматического построения научных теорий. Математические доказательства.

реферат , добавлен 10.05.2011


Предлагается к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде.

реферат , добавлен 05.07.2006


Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки, основные этапы формирования аксиоматического метода. Теории групп, множеств, отображений и конгруэнтности (равенства) отрезков. Основные аксиоматические теоремы и их доказательства.

курсовая работа , добавлен 24.05.2009


Применение методов математической логики и других разделов высшей математики в задачах теоретической лингвистики при анализе письменной речи на русском и английском языках. Исследование и распознавание речевых единиц. Методы математической логики.

реферат , добавлен 01.11.2012


История становления математики как науки. Период элементарной математики. Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрельного исчисления. Развитие математики в России в XVIII-XIX столетиях.

реферат , добавлен 09.10.2008


Введение понятия переменной величины. Развитие интегральных и дифференциальных методов. Математическое обоснование движения планет. Закон всемирного тяготения Ньютона. Научная школа Лейбница. Теория приливов и отливов. Создание математического анализа.

Говоря «математическое доказательство», мы имеем в виду доказательство математического предложения. Доказательства, по способу ведения, подразделяются на прямые и косвенные.

Прямым доказательством теоремы Т называется конечная последовательность предложений j 1 , j 2 , ..., j n данной теории, удовлетворяющая следующим требованиям:

1) предложение j 1 – какое-либо несомненное начало;

2) каждое предложение j i последовательности или аксиома, или получается из предшествующих предложений по какому-либо из правил вывода математической логики;

3) последнее предложение последовательности j n есть Т .

Ввиду того, что в соответствии с этим определением формальные доказательства являются очень длинными (состоят из большого числа предложений), их сокращают, допуская в качестве посылок наряду с аксиомами ранее доказанные теоремы и определения.

Доказательство называется косвенным (непрямым), если истинность теоремы обосновывается посредством опровержения истинности противоречащей теоремы. Например, в математике часто используют различные варианты косвенного доказательства (известного из школьного курса под названием доказательства способом «от противного»).

Косвенное доказательство некоторой теоремы Т состоит в том, что исходят из отрицания Т и выводят из него ложное заключение. Это выведение называют «приведением к нелепости», или «приведением к абсурду». Основная форма косвенного доказательства начинается с и оканчивается предложением типа . В завершение такого доказательства обычно говорят: «полученное противоречие доказывает теорему».

Среди косвенных доказательств встречаются разделительные, в которых есть разделительное суждение вида «S есть Р 1 , Р 2 », где число всевозможных случаев n ³ 2 и конечно.

По форме умозаключения, в которой совершаются доказательства, различают индуктивные и дедуктивные. Индуктивные доказательства получаются в результате применения методов полной индукции и математической индукции.

Метод математической индукции – специальный метод доказательства, применяющийся к предложениям типа ("n Î N ) P (n ), т.е. к предложениям, выражающим некоторое свойство Р , присущее любому натуральному числу n . Многие утверждения содержат целочисленную переменную n , и если надо доказать, что утверждение верно для любого числа n ³ n 0 , то это можно осуществить в два этапа:

1) Утверждение проверяют для n = n 0 .

2) Предположив, что утверждение справедливо для некоторого n = k ³ n 0 , доказывают его справедливость для n = k + 1.

Если это осуществлено, то утверждение оказывается (этап 1) верным для n = n 0 и следовательно (этап 2), для n = n 0 + 1. Тогда (этап 2) оно верно для n = n 0 + 2 и т.д.

Эти этапы составляют основу метода математической индукции.

П р и м е р. Докажем методом математической индукции, что для всех n ³ 1 верное равенство

.

Для упрощения выкладок введем обозначение S (n ) = 1 + 2 + … + n ; требуется доказать, что для всех n ³ 1 верно равенство .

1) Для n = 1 оно очевидно.

2) Допустим, что для n = k оно выполнено, т.е. . Докажем, что тогда исходное равенство верно и для n = k + 1, т.е. . Действительно, S (k + 1) = 1 + 2 + … + k + (k + 1) =
= .

Ввиду того, что непосредственная проверка наличия этого свойства у любого натурального числа невозможна из-за бесконечности множества N , поступают так: устанавливают наличие этого свойства для n = 1 и доказывают, что из допущения о наличии его для n = k , где k – произвольное натуральное число, следует наличие этого свойства и для n = k + 1, т.е. для числа, «непосредственно следующего за k ».

После этого заключают об истинности предложения ("n Î N ) P (n ), т.е. о том, что свойством Р обладает любое натуральное число.

Нестрогое гипотетическое обоснование суждений, основанное на применении одних только умозаключений правдоподобия (вероятности), например, неполной индукции или аналогии, не является доказательством. Подавляющее большинство математических предложений доказывается на основе дедуктивных умозаключений – умозаключений достоверности. Математические доказательства – это в основном чисто дедуктивные доказательства. Они представляют собой цепочки дедуктивных силлогизмов.

Правильные умозаключения

Умозаключение – это форма мышления или логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных нам определенным образом связанных суждений получается новое суждение, в котором содержится новое значение.

Форма записи умозаключения такова: . Над чертой записаны Р 1 , Р 2 , ..., Р n – исходные высказывания, они называются посылками. Под чертой записано высказывание Р , которое логически следует из исходных и называется заключением или выводом.

Заключение следует из посылок либо по правилам формальной логики (является простым логическим следствием посылок), либо выводится по правилам математики и формальной логики.

Умозаключения, позволяющие строить из общих суждений частные, называются дедуктивными или дедукцией.

Схема такого рассуждения записывается так:

и называется правилом заключения .

П р и м е р. Если четырехугольник – параллелограмм, то его диагонали пересекаясь делятся пополам. АВСD – параллелограмм. Следовательно, его диагонали пересекаясь, делятся пополам.

Существуют еще два вида дедуктивных умозаключений. Приведем их схемы.

1) – правило отрицания .

П р и м е р. В любом прямоугольнике противоположные стороны попарно равны. В четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно не равны, значит, АВСD – не прямоугольник.

2) – правило силлогизма .

П р и м е р. Если числитель меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Умозаключение, в результате которого на основании знания об отдельных предметах данного множества получается общий вывод, называется индуктивным или полной индукцией .

Его схема выглядит следующим образом:

П р и м е р. При умножении любого натурального числа на 5 последняя цифра в записи произведения 0 или 5.

Если натуральное число оканчивается на 0, то произведение оканчивается нулем. Если натуральное число оканчивается на 1, то произведение оканчивается на 5 и т.д. до 9. Переберем все возможные случаи. Значит, при умножении любого натурального числа на 5 последняя цифра в записи произведения 0 или 5.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Установите способы определения следующих понятий из начального курса математики: математическое выражение, однозначное число, двузначное число, нечетное число, деление, произведение, сантиметр.

2. Докажите с помощью таблицы истинности равносильности:

(A Ú B ) Ù C Û (A Ù C ) Ú (B Ù C );

Доказательство – цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения.

Метод перебора – один из простейших методов доказательства. Например, чтобы установить, что заданное число, скажем 103, простое, достаточно проверить, что оно не делится ни на одно простое число, не превосходящее корня из данного числа, в нашем случае, что оно не делится на 2, 3, 5, 7.

Однако когда количество объектов бесконечно, то уже невозможно перебрать все варианты. Здесь может помочь метод математической индукции, с помощью которою можно доказывать утверждения уже для бесконечного количества объектов.

Один из методов доказательства – принцип Дирихле (см. Дирихле принцип).

Доказательство – единственный способ установления истины в классической математике. Оно далеко не сразу заняло в математике такую исключительную роль. Например, в египетской и вавилонской математике вычислительные формулы, т.е. «рецепты» решения задач, так или иначе угадывались, они подвергались экспериментальной проверке, а затем сообщались в виде немотивированных утверждений.

Доказательства не сразу появились и в греческой геометрии. Архимед (III в. до н.э.) говорил о результатах, ранее «найденных, но не доказанных». С V в. до н.э. философы, начиная с Парменида и его ученика Зенона, во многом учась у ораторов, вычленяют различные приемы перехода от одних истинных утверждений к другим. Парменид формулирует закон «исключенного третьего» (из двух противоположных утверждений одно, и только одно, истинно), а Зенон использует метод приведения к абсурду (противоречию).

Но в математику эти приемы проникают не сразу: по-видимому, еще Демокрит, живший в V-IV вв. до н. э., обходился без доказательств. В IV в. до н.э. логика завоевывает математику. Несомненно, на первых порах доказательство – это логическое сведение неочевидных утверждений к очевидным или уже известным.

Наши современники не могут точно воссоздать картину, как появилась идея максимально ограничить число очевидных утверждений (аксиом), об истинности которых заключается соглашение и из которых остальные утверждения выводятся чисто логически (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). В «Началах» Евклида (III в. до н.э.) грандиозная программа аксиоматизации геометрии уже полностью решена. По правилам Евклида доказательства должны быть чисто логическими выводами из аксиом. Окончательные геометрические тексты тщательно оберегались от дополнительных апелляций к очевидности. Прокл Диадох (V в.), первый комментатор Евклида, писал: «...мы научились от самих пионеров этой науки совсем не принимать в расчет правдоподобные заключения, когда дело касается рассуждений, которые должны войти в науку геометрии». Тем временем Аристотель проводит формализацию и каталогизацию правил умозаключений. Его утверждение об их конечности и обозримости не менее поразительно, чем утверждение о конечности множества аксиом. Полнота этих двух каталогов не оспаривалась до XIX в.

Правила, которыми мы пользуемся при логических рассуждениях (доказательствах), не выходят за пределы простых логических операций. Утверждение, справедливое для некоторого множества (скажем, всех параллелограммов), справедливо и для его подмножества (например, прямоугольников). Если справедливы утверждения и из следует , то справедливо . При доказательстве теоремы, имеющей вид «из следует » ( - то, что дано, - то, что требуется доказать), при помощи уже известных нам теорем выводятся разные следствия, которые затем комбинируются, и из их комбинаций делаются новые выводы, пока в результате не получится .

При доказательстве методом от противного теоремы «из следует » из справедливости утверждения и отрицания утверждения выводится справедливость пары противоположных утверждений, например, достаточно доказать отрицание утверждения или утверждения . Вспомним одно из классических доказательств от противного – доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Если предположить, что множество простых чисел конечно и - их полный набор, то число не может быть составным, так как оно не делится ни на одно из простых чисел , но оно не может быть и простым, так как оно больше каждого .

Существуют и другие способы установления справедливости математических утверждений. Так, у Архимеда большинство его замечательных утверждений о площадях криволинейных фигур и объемах тел было получено первоначально при помощи чисто механических рассуждений с центрами тяжести, равновесием рычагов и т.д. В дальнейшем появилось большое число «механических» доказательств геометрических утверждений. Вот одно из самых изящных. Из внутренней точки многогранника на его грани опускаются перпендикуляры. Надо доказать, что хотя бы для одной грани перпендикуляр придется на саму грань, а не на ее продолжение. «Механическое» рассуждение состоит в следующем. Изготовляется массивный многогранник с неравномерной плотностью, у которого центр тяжести находится в заданной точке. Если все перпендикуляры попадут на продолжения граней, то многогранник не сможет стоять ни на одной грани, и мы получим вечный двигатель. Можно ли считать это рассуждение доказательством? С точки зрения, принятой в геометрии, разумеется, нет. Более того, нет никаких формальных способов преобразовывать «механические» доказательства в геометрические. Архимед справился с этой задачей, он дал геометрические доказательства к найденным им фактам.

Доказательство теоремы, как правило, не несет никакой информации о том, как к этой теореме можно на самом деле прийти. Одним из немногих великих математиков, допускавших посторонних в свою творческую лабораторию, был Л. Эйлер. Тексты Эйлера дают нам возможность проследить за ходом его мысли. Например, он рассматривает бесконечный ряд

.

.

Раскрывая скобки и вычисляя коэффициент при , получаем . Разумеется, Эйлер понимал, что его смелое рассуждение доказательством не является. Он ищет косвенные подтверждения: вычисляет с большим числом знаков левую и правую части полученного соотношения, получает другие аналогичные соотношения и в их числе уже доказанное Лейбницем: . У него появляется уверенность в правильности своего рассуждения, хотя он еще не в состоянии проводить эквивалентные строгие доказательства. Эйлер энергично использует свой прием для открытия новых фактов. Умение открывать новые факты в виде гипотез, умение исследовать гипотезы на правдоподобность, как и умение проводить строгие доказательства, важнейшие компоненты математического творчества.

С XVII в. математики начинают осознавать, что, в отличие от представителей других наук, они имеют надежный способ установления истины – доказательство. С этим связаны многочисленные попытки перенести доказательства за пределы математики. И. Ньютон строит механику на аксиомах по образцу «Начал» Евклида. Нидерландский философ-материалист XVII в. Б. Спиноза аксиоматизирует этику. Начиная с французского математика и физика П. С. Лапласа (1749-1827) многие пытались внедрить математические рассуждения в юридическую практику. Делались бесконечные попытки решить проблемы человеческих отношений при помощи математики. Но, конечно же, в самой математике доказательства стали играть важнейшую роль.

К началу нашего века аксиоматический метод выходит за пределы геометрии. Большинство фактов о числах, известных со времен Пифагора, носило характер частных наблюдений над конкретными числами, а не обобщающих теорем. В XVI в. теоремы появились в алгебре (у Дж. Кардано), в XVII в. – в теории чисел (у П. Ферма). Однако здесь математики не имели дело с аксиоматическими теориями и понимание доказательства находилось на доевклидовом уровне, когда набор исходных утверждений не фиксируется. В XIX в. начинается аксиоматизация всей математики. На новом уровне формализуются и перечисляются правила вывода – перехода от одних утверждений к другим. Это позволило доказать, что некоторые утверждения невыводимы из аксиом. Всеобщее удивление вызвало рассуждение немецкого математика К. Геделя о том, что в арифметике и вообще во всякой содержащей ее аксиоматической теории существует такая теорема, что ни она сама, ни ее отрицание невыводимы из аксиом.

Способы математического доказательства

В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство – это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник.

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов 360⁰, то и в данном она составляет 360⁰. Сумма трех прямых углов равна 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), и, значит, четвертый имеет величину 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Если все углы четырехугольника прямые, то он – прямоугольник Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно доказать.

Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений .

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура – выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360⁰.

2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), то величина четвертого 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 6 < 8.

Итак, говоря о структуре математического доказательства, мы должны понимать, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, с помощью которых ведут доказательство.

Следует еще заметить, что математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения (по форме) различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым – в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного . Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему

А ⇒ В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение «не В» к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы

Задача 1. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7. Метод от противного.

Задача 2. Доказать, что если х² - четное число, то х – четно. Метод от противного.

Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Верно ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.

Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Задача 5. Верно ли, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n² + 2 кратно 3? Метод полной индукции.

Основные выводы

В этом пункте познакомились с понятиями: умозаключение, посылка и заключение, дедуктивные (правильные) умозаключения, неполная индукция, аналогия, прямое доказательство, косвенное доказательство, полная индукция.

Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.

Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.

Мы выяснили, что математическое доказательство – это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам. Познакомились с простейшими из них: правилом заключения, правилом отрицания, правилом силлогизма. Узнали, что проверять правильность умозаключений можно с помощью кругов Эйлера.

Нахождение математического доказательства может оказаться непростой задачей, но вам поможет знание математики и умение оформить доказательство. К сожалению, не существует быстрых и простых методов научиться решать математические задачи. Необходимо как следует изучить предмет и запомнить основные теоремы и определения, которые пригодятся вам при доказательстве того или иного математического постулата. Изучайте примеры математических доказательств и тренируйтесь сами - это поможет вам усовершенствовать свое мастерство.

Шаги

Поймите условие задачи

Определите, что требуется найти. Первым делом необходимо выяснить, что именно следует доказать. Помимо прочего, этим будет определяться последнее утверждение в вашем доказательстве. На данном этапе следует также сделать определенные допущения, в рамках которых вы будете работать. Чтобы лучше понять задачу и приступить к ее решению, выясните, что требуется доказать, и сделайте необходимые предположения.

Сделайте рисунок. При решении математических задач иногда полезно изобразить их в виде рисунка или схемы. Это особенно важно в случае геометрических задач - рисунок помогает наглядно представить условие и значительно облегчает поиск решения.

• При создании рисунка или схемы используйте приведенные в условии данные. Отметьте на рисунке известные и неизвестные величины.
• Рисунок облегчит вам поиск доказательства.

1. Изучите доказательства схожих теорем. Если вам не удается сходу найти решение, найдите подобные теоремы и посмотрите, как они доказываются.

   Задавайте вопросы. Ничего страшного, если вам не удастся сразу же найти доказательство. Если вам что-то неясно, спросите об этом учителя или одноклассников. Возможно, у ваших товарищей возникли те же вопросы, и вы сможете разобраться с ними вместе. Лучше задать несколько вопросов, чем вновь и вновь безуспешно пытаться найти доказательство.

   • Подойдите к учителю после уроков и выясните все неясные вопросы.

   Сформулируйте доказательство

   1. Сформулируйте математическое доказательство. Математическим доказательством называют подкрепленную теоремами и определениями последовательность утверждений, которая доказывает какой-либо математический постулат. Доказательства являются единственным способом определить, что то или иное утверждение верно в математическом смысле.

      • Умение записать математическое доказательство свидетельствует о глубоком понимании задачи и владении необходимыми инструментами (леммами, теоремами и определениями).
      • Строгие доказательства помогут вам по-новому взглянуть на математику и почувствовать ее притягательную силу. Просто попробуйте доказать какое-либо утверждение, чтобы получить представление о математических методах.

   2. Учтите свою аудиторию. Прежде чем приступить к записи доказательства, следует подумать о том, для кого оно предназначено, и учесть уровень знаний этих людей. Если вы записываете доказательство для дальнейшей публикации в научном журнале, оно будет отличаться от того случая, когда вы выполняете школьное задание.

      • Знание целевой аудитории позволит вам записать доказательство с учетом подготовки читателей, чтобы они поняли его.

   3. Определите тип доказательства. Есть несколько видов математических доказательств, и выбор конкретной формы зависит от целевой аудитории и решаемой задачи. Если вы не знаете, какой вид выбрать, посоветуйтесь со своим учителем. В старших классах школы требуется оформлять доказательства в две колонки.

      • При записи доказательства в две колонки в одну заносят исходные данные и утверждения, а во вторую - соответствующие доказательства этих утверждений. Такую форму записи часто используют при решении геометрических задач.
      • При менее формальной записи доказательств используют грамматически правильные конструкции и меньшее количество символов. На более высоких уровнях следует применять именно эту запись.

   4. Сделайте набросок доказательства в виде двух колонок. Такая форма помогает упорядочить мысли и последовательно решить задачу. Разделите страницу пополам вертикальной линией и запишите исходные данные и вытекающие из них утверждения в левой части. Справа напротив каждого утверждения запишите соответствующие определения и теоремы.

      Запишите доказательство из двух колонок в виде неформального доказательства. Возьмите за основу запись в виде двух колонок и запишите доказательство в более краткой форме с меньшим количеством символов и сокращений.

      • Например: предположим, что углы А и В являются смежными. Согласно гипотезе, эти углы дополняют друг друга. Будучи смежными, угол A и угол B образуют прямую линию. Если стороны угла образуют прямую линию, такой угол равен 180°. Сложим углы A и B и получим прямую линию ABC. Таким образом, сумма углов A и B равна 180°, то есть эти углы являются дополнительными. Что и требовалось доказать.

      Запишите доказательство

      1. Освойте язык доказательств. Для записи математических доказательств используют стандартные утверждения и фразы. Необходимо выучить эти фразы и знать, как ими пользоваться.

         Запишите все исходные данные. При составлении доказательства первым делом следует определить и выписать все, что дано в задаче. В этом случае вы будете иметь перед глазами все исходные данные, на основании которых необходимо получить решение. Внимательно прочитайте условие задачи и выпишите все, что в нем дано.

      2. Определите все переменные. Помимо записи исходных данных полезно также выписать остальные переменные. Чтобы читателям было удобнее, запишите переменные в самом начале доказательства. Если переменные не определены, читатель может запутаться и не понять ваше доказательство.

         • Не используйте в ходе доказательства неопределенные ранее переменные.
         • Например: в рассмотренной выше задаче переменными являются величины углов A и B.

      3. Попробуйте найти доказательство в обратном порядке. Многие задачи легче решать в обратной последовательности. Начните с того, что требуется доказать, и подумайте, как можно связать выводы с исходным условием.

         • Перечитайте начальные и конечные шаги и посмотрите, не похожи ли они друг на друга. Используйте при этом начальные условия, определения и похожие доказательства из других задач.
         • Задавайте самому себе вопросы и продвигайтесь вперед. Чтобы доказать отдельные утверждения, спрашивайте себя: “Почему это именно так?” - и: “Может ли это оказаться неправильным?”
         • Не забывайте последовательно записывать отдельные шаги, пока не получите конечный результат.
         • Например: если углы A и B являются дополнительными, их сумма должна составлять 180°. Согласно определению смежных углов, углы A и B образуют прямую линию ABC. Так как линия образует угол 180°, в сумме углы A и B дают 180°.

      4. Расположите отдельные шаги доказательства так, чтобы оно было последовательным и логичным. Начните с самого начала и продвигайтесь к доказываемому тезису. Хотя иногда и полезно начать поиск доказательства с конца, при его записи необходимо соблюдать правильный порядок. Отдельные тезисы должны следовать один за другим, чтобы доказательство было логичным и не вызывало сомнений.

         • Для начала рассмотрите выдвинутые предположения.
         • Подтвердите сделанные утверждения простыми и очевидными шагами, чтобы у читателя не возникало сомнений в их правильности.
         • Иногда приходится не один раз переписывать доказательство. Продолжайте группировать утверждения и их доказательства до тех пор, пока не добьетесь наиболее логичного построения.
         • Например: начнем с начала.
           • Углы A и B являются смежными.
           • Стороны угла ABC образуют прямую линию.
           • Угол ABC составляет 180°.
           • Угол A + угол B = угол ABC.
           • Угол A + угол B = угол 180°.
           • Угол A является дополнительным к углу B.

      5. Не используйте в доказательстве стрелочки и сокращения. При работе с черновым вариантом можно пользоваться различными сокращениями и символами, однако не включайте их в окончательный чистовой вариант, так как это может запутать читателей. Используйте вместо этого такие слова, как “следовательно” и “тогда”.

         Завершайте доказательства фразой “что и требовалось доказать”. В конце доказательства должен стоять доказываемый тезис. После него следует написать “что и требовалось доказать” (сокращенно “ч. т. д.” или символ в виде закрашенного квадрата) - это означает, что доказательство завершено.

         • На латыни фразе “что и требовалось доказать” соответствует аббревиатура Q.E.D. (quod erat demonstrandum , то есть “что и требовалось показать”).
         • Если вы сомневаетесь в правильности доказательства, просто напишите несколько фраз о том, к какому выводу вы пришли и почему он важен.
      • Вся приводимая в доказательстве информация должна служить достижению поставленной цели. Не включайте в доказательство то, без чего можно обойтись.