Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

Примеры. Решить системы уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Система называется однородной, если в ней все свободные члены равны нулю. Если такая однородная система имеет характеристические определители, то их последний столбец состоит из нулей, и они все равны нулю. Совершенно очевидно, что всякая однородная система имеет решение

которое в дальнейшем мы будем называть нулевым.

Для однородной системы основным является вопрос о том, имеет ли она решения, отличные от нулевого, и если имеет, то какова будет совокупность всех таких решений. Рассмотрим сначала тот случай, когда число уравнений равно числу неизвестных. Система будет иметь вид:

Если определитель этой системы отличен от нуля, то, согласно теореме Крамера, эта система имеет одно определенное решение, а именно в данном случае нулевое решение. Если же этот определитель равен нулю, то ранг k таблицы коэффициентов будет меньше числа неизвестных и, следовательно, значения (п - k) неизвестных останутся совершенно произвольными, и мы будем иметь бесчисленное множество решений, отличных от нулевого. Мы приходим таким образом к следующей основной теореме:

Теорема I. Для того чтобы система (14) имела решение, отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю.

Проведем параллель тех результатов, которые мы получили для неоднородной системы (1) и однородной системы (14). Если определитель системы отличен от нуля, то неоднородная система (1) имеет одно определенное решение, и однородная система - только нулевое решение. Если же определитель системы равен нулю, то однородная система (14) имеет решения, отличные от нулевого, но при этом условии неоднородная система (1), вообще говоря, вовсе решения не имеет, ибо для того, чтобы она имела решение, необходимо, чтобы свободные ее члены были выбраны так, чтобы они обращали в нуль все характеристические определители. Приведенный параллелизм результатов будет играть в дальнейшем существенную роль. В вопросах физики однородные системы встретятся при рассмотрении собственных колебаний, а неоднородные - при рассмотрении вынужденных колебаний, и указанный выше случай равенства нулю определителя будет характеризовать для однородной системы наличие собственных колебаний, а для неоднородной системы - явление резонанса.

Переходим теперь к более подробному рассмотрению решений системы (14), когда ее основной определитель равен нулю. Пусть k есть ранг таблицы ее коэффициентов, причем, очевидно, . Согласно доказанной в предыдущем номере теореме, мы должны взять те k уравнений, которые содержат главный определитель, и решить их относительно k неизвестных.

Положим, не ограничивая общности, что эти неизвестные будут . Решения получатся в виде:

где определенные численные коэффициенты и могут принимать произвольные значения.

Отметим одно общее свойство решения системы (14), непосредственно вытекающее из линейности и однородности этой системы, и которое может быть названо принципом наложения решений, а именно - если мы имеем несколько решений системы:

то, умножая их на произвольные постоянные и складывая, мы получим также решение системы

Поступая аналогично тому, как это мы делали для линейных дифференциальных уравнений , назовем решения (16) линейно-независимыми, если не существует никаких значений постоянных Q, среди которых есть отличные от нуля, таких, что при всяком s имеют место равенства:

Нетрудно построить линейно-независимых решений системы таких, что, умножая их на произвольные постоянные и складывая, получим все решения системы. Действительно, обратимся к формулам (15), дающим общее решение системы, и построим на основе этих формул решения следующим образом: в первом решении положим а все остальные равными нулю; во втором решении положим а все остальные равными нулю и т. д. и, наконец, в последнем решении положим и все остальные равными нулю. Нетрудно видеть, что построенные решения линейно-независимы, так как каждое из них содержит одно из неизвестных равным единице, которое в остальных решениях равно нулю. Обозначим полученные решения следующим образом.

Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Размерность матрицы 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу . Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор .

Алгоритм нахождения определителя

1. Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса .
3. Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).

Для вычисления определителя, содержащего в матрице функции, применяются стандартные методы. Например, вычислить определитель матрицы 3 порядка:

Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Методы вычислений определителей

Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса . Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:

1. вычисление определителя методом понижения порядка
2. вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД(диапазон ячеек) .

Прикладное использование определителей

Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы . Иногда требуется найти неизвестный параметр a , при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников ) и, приравняв его к 0 , вычислить параметр a .
разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 .

Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 . Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец. Вычислим определитель для этого минора. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7 . И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец. Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .

Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство . Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

Следовательно, .

Правило Крамера .

Пусть матричное уравнение AX = B

Где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i -го столбца столбцом свободных членов матрицы B :

Доказательство теоремы разобъем на три части:

1.Решение системы (1) существует и является единственным.

2.Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).

3.Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).

Используя формулу (4), получим выражение для i -го элемента. Для этого нужно умножить i -ую строку матрицы

на столбец B .

Учитывая, что i -ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

где – дельта символ Кронекера.

Учитывая, что дельта символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

Комплексные числа : Идея – определение новых объектов с помощью известных. Вещественные числа расположены на прямой. При переходе на плоскость получаем комплексные числа. Определение : Комплексным числом называется пара вещественных чисел z = (a,b). Число a = Re z называется вещественной частью, а b = Im z мнимой частью комплексного числа z .

Операции над комплексными числами: Комплексные числа z1 z2 равны Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. Сложение: Z=z1+z2. ⇔Re z=Re z1+Re z2 & Im z1+ Im z2. Число (0,0) обозначается через 0. Это нейтральный элемент. Проверяется, что сложение комплексных чисел обладает свойствами аналогичными свойствам сложения вещественных чисел. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – коммутативность; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – ассоциативность; 3. Z1 + 0 = z1 - существование нуля (нейтрального элемента) ;4. z + (−z) = 0 - существование противоположного элемента). Умножение : z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Комплексное число z лежит на вещественной оси, если Imz = 0 . Результаты операций над такими числами совпадают с результатами операций над обычными вещественными числами. Умножение комплексных чисел обладает свойствами замкнутости, коммутативности и ассоциативности. Число (1,0) обозначается через 1. Оно является нейтральным элементом по умножению.Если a∈ R, z ∈C , то Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz . Определение Число (0,1) обозначается через i и называется мнимой единицей. В этих обозначениях получаем запись комплексного числа в алгебраической форме: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1. (a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 +b 2 >0 (a+ib)(a-ib/a 2 +b 2)=1.Число называется сопряженным к z, если Re =Re z ; Im =- Im z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2 Модулем числа z называется вещественное число| z |= . Справедлива формула| z| 2 = z Из определения следует, что z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z -1 = /|z| 2 (1)

Тригонометрическая форма комплексного числа: a=r cos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t)) (2) t-аргумент комплексного числа. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2пk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)(1)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

Определение: Корнем степени n из единицы называются решения уравнения z n =1Предложение. Имеется n различных корней степени n из единицы. Они записываются в виде z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 .Теорема. В множестве комплексных чисел уравнение всегда имеет n решений.Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-целые числа. K пренадлежит Z. k=2=E 2 =E n-1 E n ; E n =1; E n+p =E p . Таким образом доказано, что решениями уравнения являются вершины правильного n-угольника, причем одна из вершин совпадает с 1.

Корень n-ой степени из z 0 . Z k =Z 0 ; Z 0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 =r 0 (cos(t0)+isin(t0)); r0!=0; Z n =r n (cos(nt)+isin(nt))

r n =r 0, nt-t 0 =2пk; r= ; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2пk+t0)/n)+isin((2пk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2пk/n)+isin(2пk/n))=Z 1 E k ; z=z 1 E k ; Z 1 n =z 0, k=0, n=1

Матрицы. Определение: Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов, элементы которой являются вещественными или комплексными числами. Элементы матрицы имеют двойные индексы.

Если m = n , то это квадратная матрица порядка m , а элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ матрицы.

Операции над матрицами: Определение: Две матрицы A,B называются

равными, если их размеры совпадают и A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

Сложение. Рассматриваются матрицы одного размера. Определение :C = A + B ⇔ C = A + B, ∀i, j Предложение . Сложение матриц коммутативно, ассоциативно, существует нейтральный элемент и для каждой матрицы существует противоположный элемент.

Нейтральным элементом является нулевая матрица, все элементы которой равны 0. Она обозначается через Θ.

Умножение. Матрица A размера m × n обозначается через Amn. Определение: С mk =A mn B nk ó

C= Заметим, что в общем случае умножение не является коммутативным. Замкнутость справедлива для квадратной матрицы фиксированного размера. Пусть даны три матрицы Amn , Bnk , Ckr . Тогда (AB)C = A(BC). Если произведение 3 матриц существует, то оно является ассоциативным.

Символ Кронекера δij . Он равен 1, если индексы совпадают, и 0 иначе. Определение. Единичной матрицей I n называется квадратная матрица порядка n , для которой выполнены равенства n I n [ i | j] = δ ij Предложение. Справедливы равенства I m A mn =A mn I n =A mn

Сложение и умножение матриц связанно законами дистрибутивности. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)= = = +

Транспонирование матрицы. Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем замены строк на столбцы.

(A+B) Т =А Т +В Т

(АВ) Т =В Т А Т;(AB) Т =(AB)= = (В Т А Т)

Умножение матрицы на число. Произведение числа а на матрицу A mn называется новая матрица B=aA

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

Линейным пространством (L) над полем F называется множество векторов L={α,β..}

1.α+β=β+α(коммутативность) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(ассоциативность) 3.α+θ=α, α∙1=α(существование нейтрального) 4.α+(-α)=θ (существование противоположного)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Док-во {|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a и b>0, |a+b|=a+b,|a|=a,|b|=b.} aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

Примером линейного пространства является множество матриц фиксированного размера с операциями сложения и умножения на число.

Система линейных векторов называется линейно зависимой , если 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ Если система не является линейно зависимой, то она линейно независима. Рассмотрим 1. n=1 α 1 завис. a 1 ≠0, a 1 α 1 =θ, a 1 -1 (a 1 α 1)= a 1 -1∙ θ=θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1 ,α 2 завис. a 1 ≠0 ,a 1 α 1 +a 2 α 2 =θ ,α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 =b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n завис. a 1 ≠0, α 1 =Σ k =2 n b k α k , 1α 1 - Σ k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0

Предложение : Система векторов, содержащая более чем 1 вектор линейно зависима ттогда какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных.

Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима. Док-во: {α 1 ..α n завис. Система: α 1 ..α n ;α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +..+0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.} Если система содержит нул.вектор, то она линейно зависима. Теорема о линейных пространствах : {Пусть даны 2 системы векторов α 1 ..α m , β 1 ..β n . Система векторов α выражается через β, если каждый вектор α есть линейная комбинация β α i = Σ k =1 n a ik β k , (α) { (β), (β) { (γ)→ (α) { (γ)} Теорема: Даны 2 системы векторов, при этом α независимая и, (α) { (β)→m≤n Докажем, α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) { (β)→(α)завис. {Докажем методом индукции. m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1 . a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ. α 1 = a 11 β 1 +.. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 +.. a nn -1 β n -1 Если все коэффициенты =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ вся система линейно зависима. a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 –с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2 , c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1 , α 3 ′= α 3 –с 3 α 1 .. α n ′= α n –с n α 1 . По пред. индукции сущ-ет ненулевой набор чисел d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 (α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) { (β), m>n →(α)завис. если (α) независ. →m≤n}

МЛНП -макс.лин.незвавис.подсистемы. Пусть дана система векторов α 1 ..α n некоторой подсис. α i 1 ..α in называется МЛНП, если 1. α 1 ..α n независ.2. α i 1 ..α ir , α ij завис. Каждый вектор системы есть линейная комбинация векторов МЛНП. { α i 1 ..α ir , α ij завис. a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir , a ij ≠0 если a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 противоречие a ij ≠0 α ij = a ij -1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) { (α i 1 ..α ir)

Следствие : Любые 2 МЛНП из одной системы векторов содержат одинаковое число векторов (α i 1 ..α ir) { (α j 1 ..α jk) , (α j 1 ..α jk) { (α i 1 ..α ir) k≤r, r≤k →r=k Число векторов МЛНП называется рангом исходной системы. В случае линейного пространства(система векторов состоит из всех векторов пространства) МЛНП мб конечна или бесконечна. Рассматриваем конечный случай. Число векторов(ранг)- размерность линейного пространства. МЛНП-база. Пространство направленных отрезков. Два неколлинеарных вектора составляют базу в пространстве векторов на плоскости. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 вектора линейно зависимые α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . Компланарность- 3 вектора параллельны одной плоскости α 4 = α 4 ′+ α 5 ′ , α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 , α 5 ′= a 3 α 3 , α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . Пространство строк длины n . α= Предложение: Пространство строк длины n имеет размерность n. { ξ 1 =<1…0> ξ 2 =<0,1…0> .. ξ n =<0…1> ,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (линейная независимость) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →пространство строк длины n имеет размерность и n.

Ранг матрицы.

Две системы векторов α и β называются эквивалентными, если каждый вектор

α{ β(выражается) и β{ α.

Предложение. Ранги эквивалентных систем совпадают.

α i 1 , α i 2 ,…, α ir – МЛНП α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – МЛНП β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir < β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

Поменяв местами α и β местами → r>=k >>> Значит, r=k.

Определение. Пусть дана матрица A=

α i =

Рангом матрицы А называется ранг системы векторов α1, α2,…, αm, составленных из это матрицы >>rank(A)-ранг

Из определения очевидно, что при перестановке столбцов ранг не меняется. Покажем, что при перестановке столбцов ранг так же не меняется.

А’=

α’i=

Линейно зависимы:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 а 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α’ 1 + b 2 α’ 2 +…+ b m α’ m , b 1 а 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

Ответ: СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Определитель. Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, - определитель равен нулю.Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

5.Вырожденная матрица. Обратная матрица, её свойства, вычисление, теорема существования.

Ответ: Вы́рожденной, особой (сингулярной) матрицей называется квадратная матрица А, если её определитель (Δ) равен нулю. В противном случае матрица А называется невырожденной.

Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.

Пусть - квадратная матрица порядка. Матрица, удовлетворяющая вместе с заданной матрицейравенствам:

называется обратной. Матрицу называютобратимой, если для нее существует обратная, в противном случае - необратимой.

Из определения следует, что если обратная матрица существует, то она квадратная того же порядка, что и. Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Если определитель матрицыравен нулю, то для нее не существует обратной. В самом деле, применяя теорему об определителе произведения матриц для единичной матрицыполучаем противоречие

так как определитель единичной матрицы равен 1. Оказывается, что отличие от нуля определителя квадратной матрицы является единственным условием существования обратной матрицы. Напомним, что квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае - невырожденной {неособой).

Теорема 4.1 о существовании и единственности обратной матрицы. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

где - матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы.

Матрица называетсяприсоединенной матрицей по отношению к матрице .

В самом деле, матрица существует при условии. Надо показать, что она обратная к, т.е. удовлетворяет двум условиям:

Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что . Поэтому

что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии матрицаимеет обратную

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы существует еще одна обратная матрицатакая, что. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу, получаем. Отсюда, что противоречит предположению. Следовательно, обратная матрица единственная.

Замечания 4.1

1. Из определения следует, что матрицы иперестановочны.

2. Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной:

3. Матрица, обратная к невырожденной нижней (верхней) треугольной, является нижней (верхней) треугольной.

4. Элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными (см. п.1 замечаний 1.11).

Свойства обратной матрицы

Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:

если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1-4.

Докажем свойство 2: если произведение невырожденных квадратных матриц одного и того же порядка имеет обратную матрицу, то.

Действительно, определитель произведения матриц не равен нулю, так как

Следовательно, обратная матрица существует и единственна. Покажем по определению, что матрицаявляется обратной по отношению к матрице. Действительно:

Из единственности обратной матрицы следует равенство . Второе свойство доказано. Аналогично доказываются и остальные свойства.

Замечания 4.2

1. Для комплексной матрицы справедливо равенство, аналогичное свойству 3:

Где - операция сопряжения матриц.

2. Операция обращения матриц позволяет определить целую отрицательную степень матрицы. Для невырожденной матрицы и любого натурального числаопределим.

6.системы линейных уравнений. Коэффициенты при неизвестных, свободных членах. Решение системы линейных уравнений. Совместность системы линейных уравнений. Система линейных однородных уравнений и её особенности.

Ответ: Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i - свободными членами. Подлежат нахождению числа x n .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

Здесь А - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

Вектор-столбец из неизвестных x j .

Вектор-столбец из свободных членов b i .

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных х 1 =c 1 , x 2 =c 2 , ..., x n =c n , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

4.2. Решение систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная система n линейных уравнений с n неизвестными

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теоремаКронекера-Капелли.

Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем ее без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A)≠r(A), то система несовместна.

2. Если r(A)=r(A)=r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r(напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример 4.1.

4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

(4.1)

или в матричной форме А*Х=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае

Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A -1, получим

A -1 *A*X=A -1 *B Поскольку. A -1 *A=E и Е*Х=Х, то

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способомрешения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

Отсюда следует, что

Но есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель  получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично:

где 2 получен из  путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов:

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

Пример 4.3.

4.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

Коэффициенты aii называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем метод Гаусса подробнее.

Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения наи сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

Здесь - новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное х 2 из всех уравнений системы, кроме первого я второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0=0, их отбрасывают Если же появится уравнение вида то это свидетельствует о несовместности системы.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений, В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное x k через остальные неизвестные (x k+ 1,…,x n). Затем подставляем значение x k в предпоследнее уравнение системы и выражаем x k-1 через (x k+ 1,…,x n). , затем находим x k-2 ,…,x 1. . Придавая свободным неизвестным (x k+ 1,…,x n). произвольные значения, получим бесчи­сленное множество решений системы.

Замечания:

1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим x n из предпоследнего уравнения x n-1 , далее подни­маясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (x n-1 ,...,x 1).

2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a 11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a 11 1).

Пример 4.4.

Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицейсистемы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Если положить, например, x 3 =0,x 4 =0, то найдем одно из частных решений этой системы x 1 =-1,x 2 =-3,x 3 =0,x 4 =0.

Пример 4.5.

Решить систему методом Гаусса:

Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

Полученная матрица соответствует системе

Осуществляя обратный ход, находим x 3 =1, x 2 =1,x 1 =1.

4.5 Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r

Достаточность:

Пусть r

Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель  был равен нулю, т. е. =0.

Если система имеет ненулевые решения, то =0. Ибо при 0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же =0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r

Пример 4.6.

Решить систему

Положив x 3 =0,получаем одно частное решение: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Положив x 3 =1, получаем второе частное решение: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 и т д.