плоская поверхность куба

Альтернативные описания

Выступ, проходящий вдоль клинка, в сочетании с которым в сечении клинок приобретает форму ромба или треугольника

Выступ, проходящий вдоль клинка, образующий в сечении ромб или треугольник

Линия раздела

Плоская часть поверхности геометрического тела

Перейти последнюю...

Рассказ Айзека Азимова «... завтра»

Техника резьбы по стеклу

Поверхность куба

Сторона пирамиды

Перейти... дозволенного

Сторона октаэдра

У куба их шесть

Сторона куба

Сторона призмы

Сторона характера (перен.)

Напарник ребра куба

Плоская сторона куба

Чем блестит бриллиант?

Плоская поверхность геометрического тела

Сторона многогранника

Плоская часть поверхности геометрического тела

То, что отличает, отделяет одно от другого

Граница ж. рубеж, предел, межа, конт, край, кромка, конец и начало, стык, черта раздела. Граница земель, владения. *Честолюбию его нет границ, ни меры. Он выходит из границ приличия. Межи да грани, ссоры да брани. Рубеж (рубить) и грань (гранить) встарь означали межу и межевые знаки, которые нередко нарубались на деревьях. на березе рубежи и грани т. е. знаки, резы. каменя на вяз, а на вязе граница крестьян. этом знач. грановитый, граничный знак: Да со леху долом прямо через поперек бору к грановитой сосне. При изломе плоскости, самый гребень назыв. гранью; но в мелких вещах, напр. у граненых камней, гранью же зовут и самую площадку (фасетку), а затем и самый способ гранения или род огранки камней: мелкая, крупная грань; бриллиантовая, розетовая грань и пр. Грань в арифметич. каждое отделение в три цифры, для удобнейшего произношения написанного числа. песнях, попадается гран м. и грань, гранка: Распадися дуб на четыре грана. т. е. плахи, части. Граничить, быть пограничну, порубежну, смежну, смежаться. Когда-то мы (земля наша) граничивали с ними, а ныне прошла чересполосица. Граниченье ср. состояние граничащего. Граничный, на границе находящийся, к ней относящийся. Граничанин, граничник, пограничник, житель границы земли, области. Гранить, гранивать что, огранять, делать грани; обрабатывать твердое тело, придавая ему плоскости и гребни; гранят особ. ценные, честные камни. Граниться, быть граниму. Алмаз алмазом гранится, вор вором губится. Огранить камень. Выгранить печать. Отгранить почище. Догранить начатое. Изгранить бороздками. Награнить много камней. Подгранить порчу. Перегранить снова. перегранил более сотни топазов. Програнить еще грань. Програнил до вечера. Разгранил на грани. Гранение ср. длит. гранка ж. об. действ. по глаг. Гранкой зовут также сросшиеся в кучку русские орехи, как родятся они на одном общем стебле. Гранка орехов. Кристалл, самогранка; типограф. верстать, набор в столбцах, неверстанный в страницы. Гранчатый, гранный, граненый, с гранями. Трех-, пяти-, многогранный. Грановитка ж. шпанская вишня, растущая гранками, гроздами. Гранистый, грановитый, гранчатый, гранный, граненый, со многими гранями. Гранистый стебелек, не округлый, а угольчатый. Грановитая палата, в Москве, одетая граненым камнем. Гранчатые подвески. Гранковый, ко гранке орехов, либо к кристаллу относящийся. Гранник м. вообще, гранная вещь, многогранное тело; тело, кругом ограниченное плоскостями, образующими на стыках углы, изломы. Гранник, относительно тел то же, что угольник или сторонник, относительно плоскостей. правильном граннике все плоскости равны и одинаковы, и число их ставится перед названием, слитно; просто гранником называют призму. Гранильный, ко гранению, ко гранке относящийся. Гранильня ж. заведение, где гранят камень, стекло и пр. гранильная фабрика. Гранильщик м. гранила м. гранильный мастер. Гранило ср. орудие для огранки камней. Гранильщиков, гранильщику принадлежащий; гранильщичий, относящийся ко гранильщикам, к ремеслу, работе их

Рассказ Айзека Азимова "... завтра"

Чем блестит бриллиант

Плоская поверхность бриллианта

С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :

– уравнение плоскости вида .

– функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:

Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:


Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:

Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:

Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение : сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна :

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром . Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .

Пример 11

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение : идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра ):

Напоминаю полезный технический приём : если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:

Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны . Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)

Цели урока: сформировать представление о плоской

поверхности и плоскости.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока Плоские поверхности. Плоскость

Цели урока: сформировать представление о плоской

поверхности и плоскости.

Развивать вычислительные навыки, логическое мышление.

Воспитывать честность.

ХОД урОКа: 1 Орг. Момент.

Сегодня у нас не обычный урок, к нам пришло много гостей.

Мы-хозяева и должны постараться, чтоб наши гости ушли от нас с

хорошим настроением, с желанием ещё придти к нам. А что мы

должны сделать для этого? (быть активными, показать хорошие

знания)

2 Актуализация знаний.

Я предлагаю отправиться в путешествия по стране Геометрии, где

нас встречают геометрические фигуры. Они решили устроить

серьёзный экзамен: проверить ваши знания по математике. На

фигуре с обратной стороны задания. За правильно выполненное

задание мы будем получать букву, а потом попробуем из них

составить слово. Готовы к испытаниям?

1 Квадрат предлагает вам расшифровать название следующей
фигуры, расположив ответы примеров в порядке убывания.
(646+287)-546=(646-546)+287=387Р

(88+63)-60=88+3=91 Г (324+97)-97=324+0=324 У 724-(50+24)=724-24-50=650 К

(Вычислить удобным способом)

1. Круг У следующей фигуры углов, сторон и вершин на один больше, чем у квадрата, (треугольник)
2. Треугольник. Какие цифры пропущены? Можно ли назвать эти записи выражениями?

**6>766 8* 0>* 70 *8*=2*5

1. Прямоугольник. Привязанная к колышку коза щиплет траву. Когда цепь натягивается слишком сильно, коза не может двигаться дальше! Так потихоньку кружится на одном месте. Какая получится фигура, когда коза съест всю траву, которую она может достать?
2. Круг. Найти лишнее слово

Час, минута, лето, секунда

Сумма, плюс, вычитаемая, разность

См, дм, км, кг

Треугольник, круг, квадрат, прямоугольник

6 Составить выражения и найти их значения.
-К 5 прибавить сумму чисел 12и 65 =82

К сумме чисел 28и36 прибавить 4=68 -Из разности 54 и 34 вычесть 6=14

Из разности 78 и 68 вычесть 8=2

1. Какое выражение лишнее? 38+12 21-8 а+128 74+6
2. Какое число задумали? 46+30 =*+7=*-20=*-6=*+13=*
3. Определи порядок действий: а+(в-с)+(с!+т)+и (m-k)+(x-y)+(a-c) a+c-d+B-m+n m-(a+B-c)+(d+k)

Какое получилось слово? Что оно означает? Где его слышали?

Постановка цели урока

Как вы думаете, о чём мы будем говорить на уроке?

Какую цель поставим перед собой? (научится узнавать плоские поверхности, познакомиться с их свойствами)

Открытие нового знания

Перед вами фигуры назовите их (цилиндр, куб. параллепиппед, шар, пирамида, конус)

1. Какие из них имеют плоские поверхности?
2. Какая не имеет плоской поверхности? -Плоская поверхность имеет края.

Если же представить, что плоскую поверхность можно продолжить во всех направлениях так, чтобы у неё не было краёв, то в таком случае мы получаем плоскость. Плоскость не имеет краёв, она продолжается во всех направлениях без конца и края. -Закройте глаза и представьте море, безветренная погода, море спокойное, на нём нет не единой волны. Море простирается без конца и края так, что мы не видим берегов. Плоскость- Это как поверхность моря, когда не видно берегов. -Чем же отличается плоская поверхность от плоскости? (плоскость не имеет краёв и можно продолжить во всех направлениях.)

Первичное закрепление

Найти вокруг плоские поверхности и плоскости. -Номер 2 страница 35

Физминутка.

(Из весёлых задач)

Итог урока

С чем познакомились на уроке?

Чем плоскость отличается от плоской поверхности?

На что похожа плоскость?

Что особенно понравилось на уроке?

Что осталось плохо понятно?

Какое задание было интересно выполнять?

Какое задание было трудным?

Хорошо поработали- сложите пословицу

Свет Тьма Учение Не ученье.

Что означает?

Д.3№9стр36№11№12

ОБРАБОТКА ПЛОСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Обработку плоских поверхностей режущим инструментом можно

производить на различных станках: строгальных, долбежных,

фрезерных, протяжных, карусельных, расточных, токарных и шабровочных; обработку абразивным инструментом - на шлифовальных станках

Наиболее широкое применение получили строгание, фрезерование, протягивание и шлифование.

1. Обработка плоских поверхностей строганием и долблением

Строгание производится на продольно- и поперечно строгальных станках (последние называются шепингами). При строгании на продольно-строгальных станках стол с закрепленной на нем деталью (или деталями) совершает возвратно – поступательнoe движение; подача в поперечном направлении придается резцу путем перемещения резцового суппорта, которое осуществляется прерывисто после каждого рабочего хода. Стружка снимается во время хода стола в одном направлении, т. е. рабочего хода, хотя обратный - холостой ход - совершается со скоростью, в 2-3 раза большей, чем скорость рабочего хода, тем не менее потеря времени при холостых ходах делает строгание менее производительным способом обработки, чем другие способы (например, фрезерование).

Рис. 1. Схема строгания плоскости.

Схема строгания плоскости представлена на рис.1. На поперечно-строгальных станках возвратно-поступательное движение имеет резец, который закреплен в суппорте ползуна. Обрабатываемая деталь, закрепляемая на столе станка, получает поперечную подачу благодаря прерывистому переме­щению стола в поперечном направлении после каждого рабочего хода. Продольно-строгальные станки изготовляются одностоечными и двухстоечными, с одним, двумя и четырьмя суппортами. Одностоечные строгальные станки применяются для деталей, которые не помещаются полностью на столе, а свешиваются с него.

Продольно-строгальные и поперечно-строгальные станки широко применяются в единичном, мелко- и среднесерийном производстве вследствие их универсальности, простоты управления, достаточной точности обработки и меньшей цены по сравнению с фрезерными станками.

На долбежных станках, относящихся к классу строгальных, долбяк с закрепленным в нем резцом совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости. Стол станка, на котором закрепляется обрабатываемая деталь, имеет движение подачи в горизонтальной плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Долбежные станки применяются в единичном производстве для получения шпоночных канавок в отверстиях, а также для обработки квадратных, прямоугольных и других форм отверстий. Для этих работ в серийном и массовом производстве применяют протяжные станки.

Строгание, так же как и точение, разделяется на черновое и чистовое. Чистовое строгание производится с малой подачей или резцами с широким лезвием.

При строгании крупных литых и сварных деталей особенное зна­чение имеет правильность закрепления их на столе станка. Необходимо избегать при закреплении деформации детали, так как в против­ном случае после окончания обработки и освобождения детали от прижимов она примет свою первоначальную форму и обработанная поверхность окажется искривленной.

Наличие внутренних напряжений в отливках сильно отражается на точности строгания. Когда при строгании удаляется поверхностный слой металла, равновесие внутренних напряжений нарушается и деталь деформируется. Для устранения или уменьшения внутренних напряжений стальные детали подвергают отжигу, а чугунные отливки – искусственному или естественному старению.

Основное время для строгальных работ на продольно-строгальных станках определяется также по основной формуле, причем значение равно длине обработки в направлении подачи. Так как в строгальных станках подача идет по направлению строгания, т. е. по ширине детали, то в этом случае будет обозначать ширину строгания, которая сложится из ширины строгаемой поверхности, врезания и боковых сходов резца; тогда эта формула примет вид:

,мин,

где ; - ширина строгаемой поверхности в мм; - врезание резца и; Ь 2 - боковые сходы резца в мм; i - число ходов; п - число двойных ходов стола в минуту; s - подача резца за один двойной ход стола в мм;

,

где р.х - скорость рабочего хода стола; L - длина хода стола, равная длине строгаемой поверхности 1 плюс подход 2 и перебег 3 в начале и конце рабочего хода в мм. . – отношение скорости рабочего хода стола к скорости холостого хода.

Тогда получим:

, мин,

врезание резца: ,мм,

где - глубина резания в мм; - главный угол резца в плане; =0,5-2 мм - подход при рабочей подаче. Боковые сходы b 2 = 2–5 мм. Подход 2 и перебег 3 резца в продольном направлении, входящие в величину , принимаются:

Длина хода стола L в мм	мм

Если число двойных ходов стола для упрощения подсчетов принять по средней скорости хода стола (по отношению к скорости рабочего и холостого хода стола), что несколько менее точно, то: .

где - средняя скорость хода стола в м/мин.

Основное время для работ на поперечно-строгальных станках определяется также по формуле:. ,мин, Число двойных ходов п опреде­ляется по тем же формулам, что и для продольно-строгальных станков.

Подход и перебег резца в продольном направлении, входящие в величину L, принимаются для поперечно-строгальных станков по следующим данным:

Длина хода резца L в мм	Сумма подхода и перебега резца ( 2 + 3) в мм

Врезание резца = 2-5 мм.

2. Обработка плоских поверхностей фрезерованием

При фрезеровании поверхность обрабатывается не однолезвийным инструментом - резцом, как при строгании, а многолезвийным вращающимся инструментом - фрезой. Подача осуществляется путем перемещения обрабатываемой детали, закрепленной на столе станка. Фреза получает вращение от шпинделя станка.

Плоские поверхности можно фрезеровать торцовыми и цилиндрическими фрезами. Фрезерование торцовыми фрезами более производительно, чем цилиндрическими. Это объясняется тем, что при торцовом фрезеровании происходит одновременное резание металла несколькими зубьями, причем возможно применение фрез большого диаметра с большим числом зубьев.

Фрезерование цилиндрическими фрезами производится двумя способами. Первый способ - встречное фрезерование (рис. 2, а), когда вращение фрезы направлено против подачи; второй способ - попутное фрезерование (рис. 2, б), когда направление вращения фрезы совпадает с направлением подачи.

Рис. 2. Схемы фрезерования: a - встречное; б - попутное

При первом способе фрезерования толщина стружки постепенно увеличивается при резании металла каждым зубом фрезы, достигая величины а тах. Перед началом резания происходит небольшое проскальзывание режущей кромки зуба по поверхности резания, что вызывает наклеп обработанной поверхности и затупляет зубья.

При втором способе фрезерования толщина стружки постепенно уменьшаеся. Производительность может быть больше и качество обработанной поверхности лучше, чем при первом, но при втором фрезерования зуб фрезы захватывает металл сразу на полную глубину резания и, таким образом, резание происходит с ударами. Ввиду этого второй способ фрезерования можно применять только для работы на станках с большой жесткостью конструкции и устройством для устранения зазоров в механизмах подачи. По этой причин первый способ фрезерования применяется чаще, чем второй.

Фрезерные станки разделяются на следующие виды: 1) горизонтально-фрезерные, 2) вертикально-фрезерные, 3) универсально – фрезерныe, 4) продольно-фрезерные, 5) карусельно – фрезерцые, 6) барабанно – фрезерные и 7) специальные.

Фрезерные станки первых трех видов являются станками общего назначения и применяются во всех видах производства; остальные относятся к высокопроизводительным и применяются в серийном, преимущественно крупносерийном и массовом производстве. На горизонтально-фрезерных и вертикально-фрезерных станках можно устанавливать на стол станка 3 одну деталь 1 или несколько деталей рядами, обрабатывая их одновременно или последовательно (рис. 3) фрезами 2, закрепленными в приспособлении 4

Рис. 3. Фрезерование деталей, установленных рядами:1 - обрабатываемые детали; 2 - набор фрез; 3 - стол станка; 4 - приспособление.

Рис. 4. Производительные методы фрезерования:

1 и 2 - обрабатываемые детали; 3 - стол станка; 4 - поворотный стол

На рис. 4, а показано фрезерование деталей торцовой фрезой на вертикально-фрезерном станке так называемым методом маятниковой подачи (подача в обе стороны); при этом вспомогательное время затрачивается только на передвижение стола 3 на длину расстояния между деталями. Применение этого метода может значительно повысить производительность станка. Универсально-фрезерные станки в отличие от горизонтально-фрезерных имеют поворотный стол, которому можно придавать положение в горизонтальной плоскости под углом к оси шпинделя. Это дает возможность фрезеровать винтовые поверхности при использовании универсальной делительной головки.

Продольно-фрезерные станки бывают с горизонтальными и верти­кальными шпинделями в различном сочетании: с одним горизонтальным или с одним вертикальным шпинделем; с двумя горизонтальными; с двумя горизонтальными и одним вертикальным; с двумя горизонтальными и двумя вертикальными. Такие станки бывают больших размеров (с ходом стола до 8 м, а иногда и более); их применяют для обработки крупных деталей - одновременно с двух или трех сторон.

На рис. 4, показано высокопроизводительное фрезерование на продольно-фрезерном (а) и горизонтально-фрезерном (б) станках с применением поворотного стола 4, благодаря которому смена обработанных деталей 1, 2 производится во время фрезерования; вспомогательное время затрачивается только на обратный отвод стола и поворот его, что не превышает 0,2-0,5 минуты на две детали.

Карусельно-фрезерные станки имеют круглые вращающиеся столы большого диаметра и один (рис. 5, а) или два (рис. 5, б) вертикально расположенных шпинделя.

Рис. 5. Примеры фрезерования деталей на фрезерных станках.

карусельно-фрезерном с одним шпинделем; б - шпинделями; барабанно-фрезерном; 1 - фрезы; 2 - обрабатываемые детали; 3 - стол станка; 4 - барабан.

На этих станках обрабатываются плоские поверхности торцовыми фрезами. Детали устанавливают для обработки и снимают их по окончании обработки во время вращения стола; таким образом, детали обрабатываются непрерывно. Если на станке два шпинделя, то одним шпинделем производится черновая обработка, другим - чистовая (рис. 5, б). Такие станки применяют в крупносерийном и массовом производствах. -Барабанно-фрезерные станки служат для обработки параллельных плоскостей детали одновременно с двух сторон (рис. 5, в). Детали подлежащие обработке, устанавливают на барабан 4, который вращается внутри станины, имеющей портальную форму. Фрезы 1 помещены на расположенных с двух сторон четырехшпиндельных бабках, с каждой стороны по две. Одна фреза с каждой стороны производит черновое фрезерование, другая - чистовое. Нa этих станках детали устанавливают и снимают на ходу станка, таким образом, фрезерование идет непрерывно. Такие станки отличаются большой производительностью и применяются в крупносерий­ном и массовом производстве.

Фрезерные полуавтоматы и автоматы широко применяются в массовом производстве для фрезерования деталей малых размеров. Основное время при цилиндрическом и торцовом фрезеровании определяется по формуле:

Или ,мин,

где – расчетная длина обработки фрезой в мм; i - число ходов; – подача в мм/мин; s 2 - подача на зуб фрезы в мм; z - число

зубьев фрезы; п - число оборотов фрезы в минуту.

Величина врезания фрезы для цилиндрического фрезерования определяется (рис. 6 а) по формуле:

где t - глубина фрезерования в мм; D - диаметр фрезы в мм.

Рис. 6. Схемы фрезерования:

а - цилиндрической фрезой; б - торцовой фрезой

Для торцового симметричного фрезерования (рис. 6, б) величина врезания фрезы равна:

,мм,

Где b - ширина фрезерования в мм; - главный угол фрезы в плане.

Перебег фрезы п принимается равным 2-5 мм в зависимости от диаметра фрезы.

Основное время для фрезерования с круговой подачей стола определяется: ,мин. В крупносерийном и массовом производстве =l.

3. Обработка плоских поверхностей протягиванием

Протягивание наружных плоских поверхностей (как и фасонных) благодаря высокой производительности и низкой себестоимости обработки находит все большее применение в крупносерийном и массовом производстве; этот метод экономически выгоден, несмотря на высокую Себестоимость оборудования и инструмента. Многие операции вместо фрезерования выполняются посредством наружного протягивания. К числу таких операций относится протягивание пазов, канавок, плоскостей блоков двигателей и других деталей, зубьев шестерен и т. д. При обработке протягиванием наружных черных (предварительно не обработанных) поверхностей за один ход протяжки достигаются высокая точность и чистота поверхности. В процессе обработки каж­дый режущий зуб протяжки снимает слой металла, составляю­щий часть припуска, а калибрующие зубья зачищают поверх­ность, при этом они долго не теряют своей режущей способности и формы.

Рис. 7. Схемы плоских протяжек:а - обычные; 6, в, г - прогрессивные.

При обработке черных поверхностей поковок и отливок более целесообразно применять не обычные плоские протяжки (рис. 7, а), а прогрессивные (рис. 7, б, в, г). У обычных плоских протяжек каждый зуб снимает стружку по всей ширине обрабатываемой поверхности; поэтому при обработке черной поверхности, имеющей. корку, первые зубья протяжки быстро тупятся или выкрашиваются. У прогрессивных протяжек режущие зубья делают переменной ширины, постепенно увеличивающейся, и каждый режущий зуб срезает металл не по всей ширине обрабатываемой поверхности, а полосой, причем ширина этих полос с каждым зубом увеличивается, и только калибрующие зубья зачищают обрабатываемую поверхность, по всей ее ширине.

Для обработки наружным протягиванием широких плоскостей (более 50 мм) устанавливают несколько протяжек рядом.

Протягивание наружных поверхностей производится большей частью на вертикально-протяжных станках - полуавтоматах и автоматах. На рис. 8 показаны детали, поверхности которых обрабатываются наружным протягиванием (обрабатываемые поверхности обозначены буквой ).

Рис. 8. Детали, обрабатываемые протяжками

Применение наружного протягивания для обработки лысок на концах валика изображены на рис. 9, а. Одновременно обрабаты­ваются два валика; каждый валик обрабатывается двумя протяжками. На рис. 9, б изображена схема протягивания крышки и головки шатуна автомобильного двигателя. Цилиндрическая поверхность крышки протягивается круглыми протяжками 1 и 3, которые по мере затупления одной половины повертываются на 180°, и в работу вступает другая половина. Протяжки 2 и 4 обрабатывают плоскости разъема крышки. Головка шатуна обрабатывается протяжками 5,6,7 и 8. Протяжки делают из трех секций по длине - обдирочной, получистовой и калибровочной. После износа калибровочная секция перетачивается и ставится на место полу чистовой, а полу чистовая - на место обдирочной.

В массовом производстве применяют высокопроизводительные протяжные станки непрерывного действия. Станки с цепным приводом имеют цепь, вращающуюся на звездочках (подобно гусенице тракторов), которая перемещает детали, закрепленные на ней; когда цепь двигает детали мимо протяжек, находящихся в верхней части станка, протяжки снимают стружку с оббатываемой поверхности.

Рис. 9. Схемы протягивания:

в - лысок на валиках; 6 - крышки и головки шатуна

Нa станках непрерывного действия с карусельным столом (рис. 10, а) или с барабаном (рис. 10, б), по окружности которых детали 1 располагаются в приспособлениях, стол или барабан при вращении перемещает детали мимо протяжек 2, которые обрабатывают поверхности деталей.

Рис. 10. Схемы работы станках для непрерывного протягивания с карусельным столом:

1 - обрабатываемые детали; 2 - протяжка

4. Обработка плоских поверхностей шлифованием

Шлифование плоских поверхностей применяется как для обдирочной, так и для черновой и чистовой обработки. Обдирочное шлифование плоскостей может быть предварительной или окончательной операцией, если не требуется большой точности и чистоты поверхности. Припуск для обдирочного шлифования должен быть значительно меньше, чем для фрезерования и строгания. При больших припусках обдирочное шлифование оказывается неэкономичным. Обдирочное шлифование плоскостей применяется в том случае, когда наличие твердой корки на поверхности детали или большая твердость материала затрудняют фрезерование или строгание. Оно применяется

также при обработке плоских поверхностей деталей с малой жесткостью.

Обдирочное шлифование применяется для чугунных отливок, поковок и сварных конструкций и реже - для стальных отливок.

Черновое и чистовое шлифование плоскостей производится для получения большой точности и чистоты поверхности, когда не представляется возможным строгание. Оно применяется достигнуть этого фрезерованием или строганием.

Круги больших диаметров для шлифования изготовляют составными из отдельных частей - брусков и сегментов, прикрепленных к металлическому диску (рис. 11). При работе такими кругами уменьшается выделение тепла, улучшается удаление пыли и мелкой стружки, образующихся при шлифовании, повышается безопасность шлифовальных работ.

Рис. 11. Составные шлифовальные круги

Чистовое шлифование плоскостей производится мелкозернистыми, большей частью цельными кругами. Шлифование производится торцовой частью круга и периферией круга. При шлифовании торцевой частью круга применяют круги чашечной или тарельчатой формы. При такой форме круга изнашивается только та часть его, которая находится в соприкосновении с обрабатываемой поверхностью, и поэтому отпадает необходимость править всю поверхность круга. Кроме того, при такой форме различие скоростей вращения отдельных точек торца круга меньше влияет на точность и качество обработки поверхности.

Шлифование торцом круга более производительно, чем шлифование

периферией, так как в процессе работы торцом круга большая площадь круга находится в соприкосновении с обрабатываемой поверхностью и большее количество абразивных зерен одновременно работает; к тому же этот способ шлифования обеспечивает достаточно высокую точность; в силу указанных

Шлифование периферией круга менее производительно, но с его помощью достигается более высокая точность, чем при шлифовании торцом круга, поэтому шлифование периферией круга применяют обычно для окончательной отделки деталей измерительных инструментов, приборов и др. Плоскошлифовальные станки изготовляются для обдирочного, чернового и чистового (точного) шлифования.

Станки для обдирочного шлифования бывают:

а) односторонние (для обработки с одной стороны) - с горизонтальным или вертикальным расположением шпинделя;

б) двусторонние (для обработки с двух сторон) - двухшпиндель-Кые с горизонтальным расположением шпинделей (рис. 12). Станки для чернового и чистового (точного) шлифования изготовляются:

причин этот способ шлифования является весьма распространенным.

Рис. 12. Схема расположения шпинделей у двусторонних станков для об

дирочного шлифования.

а) для работы торцовой частью круга с прямоугольным и круглым столом; последние бывают одношпиндельные и двухшпиндельные; на рис. 13 показана схема работы станка;

б) для работы периферией круга с прямоугольным и круглым столом.

Для шлифования пластин, торцов колец и подобных тонких деталей используют плоскошлифовальные станки с магнитным столом или с применением магнитных плит, дающие весьма чистую поверхность и высокую точность.

Магнитный стол

Рис. 13. Схема работы двухшпиндельного плоскошлифовального станка

Основное время для плоского шлифования торцом круга на станках карусельного типа (рис. 14, а) определяется по формуле: ,мин,

Где – припуск на сторону в мм; -вертикальная подача круга на один оборот стола в мм; п – число оборотов стола в минуту т – количество деталей, одновременно устанавливаемых на столе- k - коэффициент, учитывающий точность шлифования.

Рис.14. Схемы плоского шлифования.

Основное время для шлифования торцом круга на станках продольного типа (рис. 14,6 - ширина шлифуемой поверхности В я принимается в долях высоты круга.

Основное время для шлифования периферией круга на станках карусельного типа (рис. 14, г) определяется по формуле:

,мин.

5 Отделка плоских поверхностей абразивами и шабрением

Окончательная чистовая обработка плоских поверхностей - отделка - кроме шлифования может производиться с применением абразивов - доводкой, притиркой, полированием. Помимо этого, для окончательной чистовой обработки применяется шабрение. Отделка плоских поверхностей с применением абразивов производится аналогично отделке наружных цилиндрических поверхностей.

Шабрение плоских поверхностей можно выполнять с помощью шабера вручную или механическим способом.

Первый способ требует большой затраты времени и высокой квалификации исполнения, но обеспечивает сравнительно высокую точность.

Второй способ - механический - осуществляется при помощи специальных станков, на которых шабер получает возвратно-поступательное движение от электродвигателя небольшой мощности. Такой способ шабрения требует меньшей затраты времени, однако его нельзя использовать для шабрения сложных поверхностей и поэтому применение его ограничено. Первый способ имеет широкое расппространение.

Проверка плоскостности обрабатываемых поверхностей производится с помощью поверочных плит и линеек на краску (по числу пятен). Поверочная плита покрывается краской и при соприкосновении с шабреной поверхностью детали оставляет пятна краски на последней в местах соприкосновения.

Число пятен краски, приходящееся на квадрат обработанной поверхности размером 25X25 мм 2 , характеризует неровность поверхности. Так, для поверхности высокой точности (детали измерительных приборов и инструментов) число пятен должно быть 25-30; для поверхностей средней, обычной точности - 20-25 и для поверхностей пониженной точности - 12-20 пятен.

6. Особенности обработки плоскостей у крупных литых деталей сложной формы

При обработке крупных литых деталей сложной формы (например, станин металлорежущих станков или других подобных деталей) возникает вопрос о целесообразности применения строгания или фрезерования.

Прежде всего следует отметить, что при том и другом способе обработки чистовую обработку надо отделять от черновой, потому что станки более продолжительное время сохраняют точность на чистовой обработке и, кроме того, крупные литые детали после черновой обработки подвергаются естественному или искусственному старению. ни получается экономия времени. Однако в ряде случаев оказывается целесообразным такие детали не фрезеровать, а строгать.

Затраты на станки и инструмент, применяемые при строгании меньше, чем аналогичные затраты при фрезеровании (фрезерные станки изнашиваются значительно быстрее), но при строгании требуется высокая квалификация рабочих.

При строгании сила резания и нагрев обрабатываемых плоскостей значительно меньше, вследствие чего и деформация обрабатываемых деталей меньше, чем при фрезеровании. Эти преимущества имеют качение при чистовой обработке крупных деталей, тем более что при фрезеровании набором фрез оправки часто прогибаются, вследствие чего искажается профиль обрабатываемой поверхности, т. е. понижается точность обработки. Черновое фрезерование наборами фрез крупных литых деталей дает экономию времени только при большой партии деталей, так как наладка станка занимает много времени. Применение этого способа обработки ограничивается быстрым затуплением фрез, работающих по корке, а также трудностью заточки набора фрез, размеры которых должны быть точно выдержаны после переточки.

Значительно экономичнее способ фрезерования крупных литых деталей сложной фермы торцовыми фрезами. Стойкость инструмента здесь значительно выше, режимы резания более высокие и заточка торцовых фрез проще, чем наборных. Таким образом, фрезерование торцовыми фрезами имеет преимущества перед фрезерованием наборами фрез; по сравнению со строганием этот способ также экономичен, как менее трудоемок.

Из всего сказанного видно, что для черновой обработки выгодно применять фрезерование торцовыми фрезами, в особенности при большом объеме выпуска деталей, когда можно рационально использовать ммогошпиндельные станки.

На заводах тяжелого машиностроения для обработки широких и длинных плоскостей применяют фрезы больших диаметров. При использовании фрезы диаметром 700 мм и более на расточном станке она крепится на планшайбе станка болтами с гайками.

Горьковским заводом фрезерных станков изготовлены мощные фрезерные станки, работающие фрезами диаметром 2250 мм и снимающие припуск за один проход до 20 мм. Мощность электродвигателя станка 155 кВт, что позволяет добиться резкого сокращения основного времени при обработке плоскостей шириной до 2000 мм и повышения производительности труда в 5 - 7 раз.